1. Основні типи рівнянь першого порядку, які розв’язуються у квадратурах.

Р-ня, які пов’язують незалежні змінні, невідому ф-ю та їх похідні називаються диф. рів-ми. Порядком диф. р-ня наз-ть найвищий порядок похідної.

а) Диф. р-ня з відокремлюваними змінними.

( помножимо цю рівність на dx і поділимо на ) – звичайне диф. р-ня першого порядку, розв’язується відносно похідної, права частина цього рівняння є добутком двох функцій одна з яких залежить тільки від х, а друга тільки від у. (1) На ліву і праву частину рівності (1) можна дивитися, як на диференціал. Оскільки диференціали рівні то самі функції відрізняються на сталу. Про інтегрувавши рівність (1) маємо:

Якщо нам вдається в лівій частині знайти первісну , а якщо звідси знайдемо y=ц(x,c) то будем мати загальний розв’язок. Рівняння виду

M(x)dx+N(y)dy=0- рівняння з відокремленими змінними.

- загальний інтеграл.

M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 – рівняння з відокремлюваними змінними.

Поділимо на

Почленно проінтегрувавши отримаємо загальний інтеграл:

До рівнянь з відокремлюваними змінними зводяться рівняння виду: y’=f(ax+by+c)

позначивши ax+by+c=u через нову змінну u, звідси можна знайти:

б) Однорідна функція.

Функція двох змінних f(x,y) називається однорідною функцією степеня m, якщо для будь-яких x,y,л?0 має місце співвідношення:

f(лx,лy)=лmf(x,y).

Диф.р-ня першого порядку називається однорідним, якщо f(x,y) є однорідною функцією нульового степеня.

y’=(x,y) f(лx,лy)=л0f(x,y)=f(x,y); y’=f(лx,лy)= (2)

Права частина р-ня (2) залежить від відношення , тому введемо нову змінну y=ux; y’=u’x+u. Тоді р-ня (2) запишеться

u’x+u=f(1,u); Розв’яжемо відносно похідної:

u’x=f(1,u)-u

Відокремивши змінні отримаємо:

f(1,u)-u?0

F(u)=ln cx

Якщо останнє р-ня можна розв’язати відносно u, то можна знайти загальний розв’язок, якщо не вдається знайти первісну, то р-ня не розв’язується в нашій квадратурі. F(u)=ln cx

Оз-ня: Розв’язок диф.р-ня, який не одержується із загального розв’язку ні при жодному значені довільної сталої, назив. особливим розв’язком.

- р-ня такого виду зводяться до однорідного, якщо

Зробимо заміну, щоб позбутися сталих c1 і c2

x1=x+б; y1=y+в

Тоді:

-a1б-b1в+c1=0

-a2б-b2в+c2=0

якщо то с-ма має єдиний розв’язок.

якщо то рядки пропорційні

a1=a2k; b1=b2k a2x+b2y=z;

Диференціюючи останню р-сть отримаємо:

a2+b2y’=z’; y’=z’;

- рівняння з відокремленими змінними. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 – р-ня такого виду називається однорідним, якщо ф-ції M(x,y)і N(x,y)

є однорідними ф-ціями однакового степеня. Р-ня такого ж виду називається узагальнено однорідним, якщо при підстановці замість x ->л x, а замість y->лky і dy-> лk-1dy одержимо те саме р-ня. Узагальнено однорідне р-ня зводиться до однорідного р-ня, а дальше до р-ня з відокремленими змінними із відповідною заміною, число k в кожному випадку буде різне.

в) Лінійні р-ня.

Р-ня виду y’+p(x)y=Q(x), де p(x) і Q(x) – задані неперервні ф-ції називають лінійним р-нням першого порядку. Якщо Q(x)=0, то y’+p(x)y=0 назив. лінійним однорідним диф. р-ням. Якщо Q(x)?0, то р-ня називають лін. неоднорідним.

y’+p(x)y=0-р-ня з відокремлюючими змінними. Розв’язання:

Інтегруємо і отримаємо загальний розв’язок р-ня:

Розв’язати р-ня y’+p(x)y=Q(x) можна двома способами:

1-й Метод Лагранжа, шукаємо загальний розв’язок відповідного йому однорідного р-ня(коли Q(x)=0) і у загальному розв’язку сталу c вважають невідомою функцією:

; Загальний розв’язок:

2-й Метод Бернулі. y=u(x)v(x)-розвязок представляємо у вигляді добутку двох невідомих функцій. Підставимо y в р-ня y’+p(x)y=Q(x)

u’(x)v(x)+u(x)v’(x)+p(x)u(x)v(x)=Q(x)-згрупуємо 1-й і 3-й доданки:

v(x)[u’(x)+p(x)u(x)]+u(x)v’(x)=Q(x). (*)

Виберемо функцію u(х) такою, щоб u’(x)+p(x)u(x)=0.

Записуємо загальний розв’язок: , покладемо с=1 і отримаємо підставимо у (*)

підставивши знайдені функції u і v одержимо розв’язок.

г) Р-ня Бернуллі.

y’+p(x)y=Q(x)ym, m?0, m?1 – р-ня Бернуллі.

Р-ня Бернулі зводиться до лінійного р-ня заміною

y’+p(x)y=Q(x)ym| : ym?0

y’y-m+p(x)y1-m=Q(x); y1-m=z; z’=(1-m)y-my’;

Помножимо р-ня y’+p(x)y=Q(x)ym на (1-m)

(1-m)y’y-m+(1-m)p(x)y1-m=Q(x)(1-m)

Враховуючи заміну наше р-ня матиме вигляд:

z’+(1-m)p(x)z=(1-m)Q(x)

- загальний розв’язок р-ня Бернуллі.

Також розв’язок р-ня Бернуллі можна шукати у вигляді добутку двох функцій y=uv;

u’v+uv’+puv=Qumvm. Згрупувавши 1-й і 3-й доданки отримаємо:

v(u’+pu)+uv’=Qumvm. Вбираємо u, як розв’язок р-ня в дужках: u’+pu=0 ->

c=1; - р-ня з відокремлюваними змінними.

д) Р-ня в повних диференціалах.

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (**) – називається р-ня повного диференціала, якщо ліва частина є диференціал деякої ф-ції двох змінних. d(u(x,y))=0 розвязок якого маєм зразу u(x,y)=c.

Для того, щоб р-ня (**) було р-нням повного диференціала необхідно і достатньо, щоб мала місце така рівність: (A)

Необхідна умова:

Використовуючи теорему Ейлера про рівність мішаних похідних продиференціюємо першу рівність по у, а другу по х:

1) 2)

приходимо до умови (А), якщо покласти, що N(x,y) і M(x,y) неперервно диференційовані в деякій області.

Достатність: Якщо рівність (А) виконується, M(x,y) є похідною по х.

(3)

В останній рівності появилась нова функція ц(у), продиференціюємо цю рівність по у: ; оскільки то

Використовуючи умову (А) одержемо:

; Є така властивість тоді

Підставимо межі N(x,y)=N(x,y)-N(x0,y)+ц’(y)

0= - N(x0,y)+ц’(y); N(x0,y)=ц’(y);

Підставивши в (3) знаходимо функцію u і розв’язок р-ня (**)

де функції M, N- неперервні.

Розвязок можна знайти і іншим способом:

Ейлер показав, що р-ня виду (**) завжди можна звести до р-ня в повних диференціалах домноживши обидві частини цього р-ня на функцію ц(х, у). Ця функція називається інтегрувальним множником.

Задача відшукання інтегрувального множника спрощується, якщо його шукати у вигляді функції однієї змінної, однак вже тоді не кожне р-ня виду (**) можна звести до р-ня в повного диференціала.

Домноживши обидві частини р-ня (**) на ц(х):

ц(х)M(x,y)dx+ц(x)N(x,y)dy=0 – застосуємо до цього р-ня умову (А)

Оскільки ліва частина останньої рівності є ф-цією тільки від х, якщо права частина цієї ф-ції є теж ф-цією від х, то для знаходження ф-ції ц(х) ми можемо почленно проінтегрувати.

, якщо виконується умова:

; с=1 – інтегрувальний множник,

Подібним чином можна шукати інтегрувальний множник, але як функцію від у:

ш(y)M(x,y)dx+ш(y)N(x,y)dy=0

Для знаходження інтегрувального множника ш(у) ми одержали диф. р-ня, розв’яжемо його відносно похідної:

ліва ф-ція залежить тільки від у і якщо права буде теж тільки від у то для знаходження інтегрального множника ш(у) можна почленно проінтегрувати.