/>
2. Лінійні однорідні диф. р-ня n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
y(n)+P1y(n-1)+…+P2y=0 (1)
Р-ня виду (1), де Рі-const називається лінійним однорідним диф. n-го порядку із сталими коефіцієнтами. Щоб знайти розв’язок цього р-ня достатньо знайти фундаментальну с-му розв’язків цього р-ня. Будемо шукати частинні розв’язки у вигляді y=ekx
y’=kekx Pn
+ y”=k2ekx Pn-1
…………………….
+ y(n)=knekx 1
підставимо у р-ня (1) і отримаємо
ekx(kn+P1kn-1+…+Pn)=0 | :ekx
kn+P1kn-1+…+Pn=0 (2)
Р-ня (2) називається характеристичним р-ням р-ня (1). Його можна одержати, якщо замість похідної поставити відповідний степінь k. Р-ня (2) – це р-ня n-го порядку має рівно n коренів враховуючи їх кратність.
Нехай р-ня (2) має коренями числа k1, k2, …, kn, які є попарно різні і дійсні. Тоді ф-ції є розв’язками р-ня (1). Вони утворюють фундаментальну систему розв’язків. Тому загальний розв’язок матиме вигляд:
Нехай серед коренів характеристичного р-ня є комплексні корені k1=б+iв тоді це р-ня має і комплексно спряжений корінь k2=б-iв. Тоді за ф-лою Ейлера eiц=cos ц+i sin ц
y1=у(б+iв)x=eбx eiвx= eбx cos вx+i eбx sin вx
y1=у(б-iв)x=eбx e-iвx= eбx cos вx-i eбx sin вx
Тоді розв’язком нашого р-ня є дійсні ф-ції eбxcos вx, eбxsin вx. Вони утворюють фундаментальну систему розв’язків, вони лінійно незалежні, тому для кожної пари комплексно спряжених коренів б±iв будем мати пару ф-цій eбxcos вx, eбxsin вx.
Нехай тепер характеристичне р-ня має кратні корені. Тоді дістанемо менше ніж n частинних розв’язків р-ня(1) і тому вони не можуть утворювати фундаментальну систему розв’язків і ми не будем мати загального розв’язку цього р-ня. Знайдемо спосіб побудови фун. с-ми розв. Позначимо ліву частину р-ня (2) як деяку функцію від k:
ц(k)=kn+P1kn-1+…+Pn
Будемо шукати розв’язки р-ня (1) у вигляді:
Pn y=ekxu
Pn-1 y’=ekx(ku+u’)
Pn-2 y”=ekx(k2u+2ku’+u”)
y”’=ekx(k3u+3k2u’+3ku”+u”’)
………………………………….
1 yn=ekx(knu+nkn-1u’+n(n-1)kn-2u”/1*2+….+nu(n-1)+u(n))
Підставляючи в наше р-ня і скорочуючи на ekx одержимо:
(3)
Якщо многочлен має похідну m-го порядку. Якщо k1 є коренем кратності m1 характеристичного р-ня то всі похідні до (m1-1) порядку включно ф-ції ц(k)=0, ц’(k)=0, …, ; m1<n. Тоді р-ня (3) перепишеться у вигляді:
(4)
Тоді ф-ція y=ekxu буде розв’язком р-ня (1), якщо u буде задовольняти р-ня (4). Всі коефіцієнти при похідних функцій u відмінні від 0 то можемо вибрати ф-цію u такою, щоб
Найпростішими такими функціями є функції: u2=x, u3=x2, u4=x3, …,. Ці ф-ції є лінійно незалежні. Тоді будемо мати ф-ції: y1=ekx; y2=ekxx; y3=ekxx2;
Якщо k2 є коренем характ. р-ня кратності m2 ми утворимо систему ф-цій:
.
В загальному випадку маєм корені k1 кратності m1, k2 кратності m2, kj крат. mj причому m1+m2+…+mj=n. Будем мати систему ф-цій:
Ця с-ма ф-цій є лін. незалежна. n- лін. незал. частинних розв’язків утворюють фундаментальну с-му розв’язків.Тоді загальний розвязок р-ня (1) запишеться:
Якщо корені комплексні то є і спряжені. Якщо характеристичне р-ня має комплексні корені k1=б1+iв1 кратності m1 то він має обов’язково комп. спряжено . Замість с-ми ф-цій у відповідність комплексним ф-ціям можна взяти:
........................................
В загальному розв. р-ня цій парі комплексно спряжених коренів будуть відповідати доданки:
Таким чином ми матимемо алгоритм знаходження загального розв’язку лін. однор. диф. р-ня із сталими коефіцієнтами:
Скласти характеристичне р-ня і знайти його корені;
знайти частинні розвязки цього р-ня, що відповідає знайденим кореням характеристичного р-ня. При цьому врахувати:
кожному з дійсних коренів кратності 1, наприклад k1 відповідає дійсний розв’язок
кожній парі комплексних коренів б±і в кратності 1 відповідає пара дійсних частинних розв’язків р-ня (1) eбxcosвx; eбxsinвx
кожен m кратний корінь, як дійсний так і комплексний дає m частинних розв’язків, які можна одержати з частинних розв’язків чи домноживши на 1, x,…, xm-1
множенням на довільні сталі цих розв’язків і додаванням одержаних результатів одержуєм загальний розв’язок р-ня (1).
3 Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа)
Розглянемо неоднорідне диф-не р-ня , (1)
де – неперервні на функції.
Припустимо, що для диференціального рівняння (1) ми знайшли частинний розвязок так, що . (2)
Введемо нову змінну : . (3)
Тоді .
Звідки . (4)
Диф-не р-ня (4) наз-ся однорідним диференціальним рівнянням, яке відповідає неоднорідному диференціальному рівнянню (1).
Загальний розвязок диференціального рівняння (4) записується у формі
, (5)
де – фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (4), – довільні сталі. Тоді
(6)
буде загальним розвязком диференціального рівняння (1) в області
. (7)
Таким чином, для знаходження загального розвязку неоднорідного диференціального рівняння (1) необхідно знайти один частинний розвязок диференціального рівняння (1) і прибавити до нього загальний розвязок однорідного диференціального рівняння.
З-ня Розглянемо диференціальне рівняння . (8)
Припустимо, що – частинний розвязок диференціального рівняння , а – частинний розвязок диференціального рівняння . Тоді, очевидно, –частинний розв-к диф-го рів-ня (8).
Загальний розвязок неоднорідного диференціального рівняння(1) можна знайти в квадратурах, якщо відомо загальний розвязок відповідного однорідного диференціального рівняння (4). Будемо шукати загальний розвязок диференціального рівняння (1) у вигляді , (9)
де – деяка фундаментальна система розвязків диференціального рівняння (4).
Виберемо функції так, щоб функція (9) була загальним розвязком диференціального рівняння (1). Так як шукані функції задовольняють тільки одній умові, то для їх визначення можна підпорядкувати їх будь яким (n-1) умовам.
Таким чином, знайдемо n похідних функції (9):
;
й покладемо ;
й покладемо;;
………………..
й покладемо ;
й покладемо .
Підставляючи (10) в диференціальне рівняння (1) отримаємо n –е рівняння
.
Таким чином, для визначення невідомих функцій отримаємо систему диференціальних рівнянь
. (11)
Відносно – це система лінійних рівнянь з визначником . Для знаходження запишемо формулу
, (12)
де – алгебраїчне доповнення до елементу n-го рядка і i –го стовпчика визначника . Всі функції, які входять в праву частину диференціального рівняння (12) є неперервними на . З (12) отримаємо
, (13)
де – довільні сталі, .
Тоді