. (14)

Тут

(15)–

частинний розвязок диференціального рівняння (1).

Неважко перевірити, що частинний розвязок (15) задовольняє нульовим початковим умовам .

Приклад, Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Фундаментальна система розвязків для диференціального рівняння буде . Отже

.

Тому загальний розвязок запишемо у вигляді ()

,

.

Зокрема, для диференціального рівняння другого порядку

(16)

загальний розвязок запишеться у вигляді

. (17)

При цьому – частинний розвязок диференціального рівняння (16), який задовольняє цьому рівнянню з початковими умовами , .

Для диференціального рівняння виду

, (18)

так як , що випливає з формули Остроградського – Ліувілля, загальний розвязок запишемо у формі

. (19)

Таким чином, для знаходження загального розвязку диференціального рівняння (1) необхідно знайти фундаментальну систему розвязків однорідного рівняння (4), після чого загальний розвязок запишеться в квадратурах.

4 Лінійні неоднор р-ня з сталими коеф-тами. Метод невизн. коефіцієнтів.

Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку

(1)

де -задана непенрервна при функція. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1) має вигляд

де - загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного рівняння , а – деякий частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

Оскільки ми вже розглядали питання про знаходження розв’язку лінійного однорідного рівняння з сталими коефіцієнтами, то залишилось знайти частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Квазімногочленом називається функція де -задане комплексне число, – заданий многочлен степені m з комплексними коефіцієнтами.

Розглянемо рівняння

(2)

де - задане комплексне число, а - заданий поліном степені m.

Якщо число є серед коренів характеристичного рівняння

, (3)

то кажуть, що в рівнянні (2) має місце резонансний випадок. Якщо не є серед коренів рівняння (3), то кажуть, що має місце нерезонансний випадок.

Т:Рівняння (2) має частинний розв’язок вигляду

(4)

де – поліном такої ж степені, що і , s=0 в нерезонансному випадку і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3).

Л:Якщо в рівнянні (1) всі коефіцієнти є дійсним і , де - поліноми з дійсними коефіцієнтами степені відповідно , то при цьому частинний розв’язок рівняння (1) має вигляд

(5)

Тут - поліноми степені m, s=0, якщо число не є серед коренів характеристичного рівняння (3), і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3).

З:На практиці розв’язок лінійного неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами шукають методом невизначених коефіцієнтів, тобто підставляють (4) (або, відповідно, (5)) у рівняння (1), вважаючи коефіцієнти поліномів невизначеними (невідомими).

При цьому, для знаходження цих коефіцієнтів одержується лінійна система, яка має єдиний розв’язок.

П-д. (а)

Загальний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де u(x) – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння

, (б)

-частинний розв’язок рівняння

, (в)

а – частинний розв’язок рівняння

. (г)

Спочатку розв’яжемо однорідне рівняння (б). Для цього запишемо відповідне йому характеристичне рівняння

.

Його коренями є: .

Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд

.

Розв’яжемо рівняння (в).

.

Оскільки контрольне число не є серед коренів характеристичного рівняння, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де А, В – невизначені коефіцієнти. Для їх знаходження підставимо у рівняння (в):

Тепер знайдемо розв’язок рівняння (г).

Тут .

Оскільки число є коренем характеристичного рівняння, і його кратність рівна 1, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді

,

де коефіцієнти D, E невідомі. Як і в попередньому випадку, для знаходження коефіцієнтів підставимо цей розв’язок у відповідне неоднорідне рівняння:

Таким чином, загальний розв’язок рівняння (а) має вигляд