У нас: 141825 рефератів
Щойно додані Реферати
Тор 100
|
|
загальний розвязок диференціального рівняння (1) запишеться у вигляді
. (14) Тут (15)– частинний розвязок диференціального рівняння (1). Неважко перевірити, що частинний розвязок (15) задовольняє нульовим початковим умовам . Приклад, Знайти загальний розвязок диференціального рівняння . Розв'язання. Фундаментальна система розвязків для диференціального рівняння буде . Отже . Тому загальний розвязок запишемо у вигляді () , . Зокрема, для диференціального рівняння другого порядку (16) загальний розвязок запишеться у вигляді . (17) При цьому – частинний розвязок диференціального рівняння (16), який задовольняє цьому рівнянню з початковими умовами , . Для диференціального рівняння виду , (18) так як , що випливає з формули Остроградського – Ліувілля, загальний розвязок запишемо у формі . (19) Таким чином, для знаходження загального розвязку диференціального рівняння (1) необхідно знайти фундаментальну систему розвязків однорідного рівняння (4), після чого загальний розвязок запишеться в квадратурах. 4 Лінійні неоднор р-ня з сталими коеф-тами. Метод невизн. коефіцієнтів. Розглянемо лінійне неоднорідне рівняння n-го порядку (1) де -задана непенрервна при функція. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1) має вигляд де - загальний розв’язок відповідного лінійного однорідного рівняння , а – деякий частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. Оскільки ми вже розглядали питання про знаходження розв’язку лінійного однорідного рівняння з сталими коефіцієнтами, то залишилось знайти частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Квазімногочленом називається функція де -задане комплексне число, – заданий многочлен степені m з комплексними коефіцієнтами. Розглянемо рівняння (2) де - задане комплексне число, а - заданий поліном степені m. Якщо число є серед коренів характеристичного рівняння , (3) то кажуть, що в рівнянні (2) має місце резонансний випадок. Якщо не є серед коренів рівняння (3), то кажуть, що має місце нерезонансний випадок. Т:Рівняння (2) має частинний розв’язок вигляду (4) де – поліном такої ж степені, що і , s=0 в нерезонансному випадку і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3). Л:Якщо в рівнянні (1) всі коефіцієнти є дійсним і , де - поліноми з дійсними коефіцієнтами степені відповідно , то при цьому частинний розв’язок рівняння (1) має вигляд (5) Тут - поліноми степені m, s=0, якщо число не є серед коренів характеристичного рівняння (3), і s рівне кратності кореня характеристичного рівняння (3). З:На практиці розв’язок лінійного неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами шукають методом невизначених коефіцієнтів, тобто підставляють (4) (або, відповідно, (5)) у рівняння (1), вважаючи коефіцієнти поліномів невизначеними (невідомими). При цьому, для знаходження цих коефіцієнтів одержується лінійна система, яка має єдиний розв’язок. П-д. (а) Загальний розв’язок будемо шукати у вигляді , де u(x) – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння , (б) -частинний розв’язок рівняння , (в) а – частинний розв’язок рівняння . (г) Спочатку розв’яжемо однорідне рівняння (б). Для цього запишемо відповідне йому характеристичне рівняння . Його коренями є: . Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Розв’яжемо рівняння (в). . Оскільки контрольне число не є серед коренів характеристичного рівняння, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді , де А, В – невизначені коефіцієнти. Для їх знаходження підставимо у рівняння (в): Тепер знайдемо розв’язок рівняння (г). Тут . Оскільки число є коренем характеристичного рівняння, і його кратність рівна 1, то частинний розв’язок будемо шукати у вигляді , де коефіцієнти D, E невідомі. Як і в попередньому випадку, для знаходження коефіцієнтів підставимо цей розв’язок у відповідне неоднорідне рівняння: Таким чином, загальний розв’язок рівняння (а) має вигляд |