1
1. Основні рівняння прямої та площини у просторі.
Пряма в просторі
Нехай задана точка і напрямний вектор
Скласти рівняння промої, що проходить через точку і яка // вектору . М(x,y,z) біжуча точка. Якщо точка М(x,y,z) належить прямій d то вектори колінеарні, а іхні координати пропорційні . – канонічне рівняння прямої в просторі.
– параметричні рівняння прямої в просторі. – параметр.
З (1) дістаємо:
Канонічне рівняння задає пряму, як перетин трьох площин, кожна з яких паралельна координатній осі.
– р-ня прямої, що проходить ч/з дві точки в просторі.
Дві прямі в просторі Задані дві прямі:
;
Умова паралельності: (1’)
Якщо крім (1’) виконується також рівність (2’), то прямі співпадають:
Умова перетину прямих: .
Умова мимобіжності прямих:
Кут між прямими рахують як кут між напрямними векторами.
Кут між двома мимобіжними – це кут між паралельними до них прямими.
Площина в просторі
;;n–пер-р до пл.
Дві площини в просторі ; ;
(*)- умова паралельності, якщо вона не виконується, то площини перетинаються;
умова спів падання
Кут між площинами: =
=0 – площини перпендикулярні
Пряма і площина в просторі
d;
2)
2’) якщо крім цього
1)
1’) – колінеарні. .
– кут між прямою і площиною.
2. Основні алгебраїчні структури: група, кільце, поле.
а)Група Непорожня множина із визначеною в ній бінарною операцією , називається групоїдом. Групоїд, в якому визначена асоціативна операція, називається півгрупою. Півгрупа, в якій існує одиничний (нейтральний) елемент, називається моноїдом. Одиничний елемент позначають е: для будь-якого gG [ge = eg = g]. Моноїд, кожен елемент якого оборотний, називається групою. Оборотним називається такий елемент множини, для якого в цій множині існує обернений. Оберненим до елемента gG називається такий елемент g-1 цієї ж множини, для якого gg-1= g-1g = e.
Повне означення групи: Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою, якщо виконуються наступні умови:
операція
асоціативна;
в множині G існує одиничний елемент ;
кожний елемент g
G множини G оборотний.
Якщо операція , визначена в групі, є комутативною, то група G називається комутативною або абелевою.
Група G називається скінченною, якщо кількість її елементів (порядок групи) скінченна.
Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.
Перевірка того, чи непорожня підмін-на Н групи G є підг-ю групи G, включає:
чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g1 та g2 і результат операції між ними, тобто елемент g1
g2;
чи містить Н разом із будь-яким своїм елем-м g і обернений йому еле-т g-1.
Т(про перетин підгруп).Якщо Н1 і Н2 – підгрупи групи G, то їх перетин Н1Н2 теж є підгрупою групи G.
Д. Якщо елементи a i b належать перетину Н1Н2, то вони містяться в кожній з підгруп Н1 та Н2, тому елементи ab та a-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н1Н2 – теж підгрупа групи G.^
Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>.
Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою.
Групи G i G1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відпов-ть, що коли будь-яким елементам a,bG відповідають елементи a1,b1G1, то результату операції ab між елементами групи G відповідає результат операції a1b1 між елем-ми групи G1.
Тут – позначення операції в групі G, – в групі G1.
При ізоморфному відображенні груп G та G1:
одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G1;
будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G1.
Кільце Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:
множина К є адитивною абелевою групою;
множина К є мультиплікативною півгрупою;
операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто
a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb]. Позначається (К,+, *).
Кільце наз-ть комутативним, якщо операція множення в кільці комут-на.
Ненульове кільце, в якому є один-й ел-т е, наз-ть кільцем з одиницею.
Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аи, bи, але ab = и. и – нульовий елемент кільця.
Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності).
Підмножина К1 кільця К називається підкільцем кільця К, якщо К1 є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.
Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К1 належить до К1.
Кільця К і К1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,bК і відповідних їм елементів a1,b1К1 сумі a+b відповідає сума a1+b1, добутку ab відповідає добуток a1b1.
Поле Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, *).
Поле (Р,+, *) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},*).
Характеристикою поля Р називають:
число нуль, якщо ne=и лише при n=0;
нат-не число р, якщо pe = и і немає такого кєN, меншого ніж р, що ке = и.
Підмножину Р1 поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених
