3. Системи лінійних рівнянь та точні методи їх розв’язування

Р-ня з n невідомими х1,х2,…,хп називається лінійним, якщо його можна подати у вигляді: а1х1+а2х2+…+ апхп= b , (1.1)

де а1,а2,…,ап– коефіцієнти, b – вільний член рівняння (дійсні числа).

Сукупність записаних в певному порядку чисел називається розв’язком рівняння (1.1), якщо після заміни в ньому невідомих хі відповідними числами (і=1,2,…,п), воно перетворюється в правильну рівність. Розглянемо систему m лінійних рівнянь з п невідомими:

(1.2)

Розв’язком системи лінійних рівнянь називається така сукупність записаних у певному порядку чисел , що кожне з рівнянь системи (1.2) перетворюється на правильну рівність після заміни в ньому невідомих хі відповідними числами (і=1,2,…,п).

Система лінійних рівнянь, яка має розв’язки, називається сумісною; система, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною.

Сумісна с-ма лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок, і невизначеною, якщо кількість її розв’язків більше одного.

Системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків збігаються. Кожне елементарне перетв-ня будь-якої с-ми лінійних р-нь переводить її в еквівалентну с-му.

Т.Кронекера-Капеллі:Якщо ранг розширеної матриці=рангу матриці, то с-ма р-нь сумісна (ранг матриці-макс.число лін-но незал. рядків матриці)

Лінійне рівняння (1.1) називається неоднорідним, якщо його вільний член не дорівнює нулю, і однорідним, якщо вільний член дорівнює нулю.

Аналогічно, с-ма лінійних р-нь наз-ся однорідною, якщо всі її р-ня однорідні.

Способи розв’язування систем лінійних рівнянь

а) Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь

Запишемо розширену матрицю системи(1.2), відокремивши стовпчик вільних членів. Застосовуючи елементарні перетворення рядків, зведемо дану матрицю до ступінчастого вигляду.

Із вигляду ступінчастої матриці можна зробити висновок про сумісність та визначеність с-ми (1.2):

Т1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої системи, в якій немає рівнянь вигляду 0=b, де b?0.

Т2. С-ма лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої с-ми, в якій число рівнянь r дор. числу невідомих n.

Н1. Система лінійних рівнянь з п невідомими є визначеною тоді і тільки тоді, коли вона зводиться до ступінчастої системи, в якій

Н2. Сумісна с-ма m лінійних рівнянь з п невідомими при m<n є невизначеною.

Розв’язати систему

Зведемо розширену матрицю цієї системи до ступінчастого вигляду.

Тут перетворення (1) включає: а) до 2-го рядка додано 1-й, помножений на (-2);

б) до 3-го і 4-го рядків додано 1-й, помножений на (-3);

(2) включає: а) до помн-го на 5 3-го рядка додано помн-й на (-8) 2-й рядок;

б) від 4-го рядка віднято 2-й рядок.

Після вилучення рівняння вигляду 0=0 задана система лінійних рівнянь звелася до наступної ступінчастої системи:

Ця с-ма, а і задана с-ма мають єдиний розв-к.

б) П-ло Крамера:Якщо визначник d системи n лінійних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок: , де – визначник, отриманий із визначника d заміною його і-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Н. С-ма n лінійних однорідних р-нь з п невідомими тоді і тільки тоді має роз-ки, відмінні від нульового, коли визначник цієї с-ми дорівнює нулю.

Якби визначник однорідної с-ми лінійних р-нь був відмінним від нуля, то ця с-ма мала б єдиний нульовий роз-к, що суперечить умові. Навпаки, якщо визначник с-ми = нулю, то ступінчаста матриця цієї системи п рівнянь з п невідомими має хоча б один нульовий рядок, а, значить, кількість р-нь у відповідній ступінчастій с-мі менша за число невідомих, звідки випливає існування вільних невідомих і, отже, нескінченної кількості роз-в, в тому числі і відмінних від нульового.

П-д.Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання.

Оскільки d0, то застосуємо правило Крамера:

Отже,

в) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь

Матриця А-1 називається оберненою для квадратної матриці А, якщо АА-1=А-1А=Е. Тут Е – одинична матриця.

Матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, і виродженою, якщо дорівнює нулю.

Матрична форма запису системи лінійних рівнянь

Для системи m лінійних рівнянь з п невідомими

вводяться наступні позначення:

Тоді с-ма лінійних рівнянь запишеться у вигляді матричного р-ня АХ=В. Це рівняння називають матричною формою запису с-м лінійних р-нь. Нехай число рівнянь m у системі дорівнює кількості невідомих п, причому визначник цієї с-ми відмінний від нуля. Якщо дане матричне р-ня має роз-к тобто виконується рів-ть АХ*=В, то, помноживши зліва обидві частини цієї рівності на А-1, отримаємо А-1АХ*=А-1В, звідки Х*=А-1В, тобто матимемо матричний вигляд розв’язку заданої системи лінійних рівнянь. Отже, якщо вихідне матричне рівняння із невиродженою матрицею А має розв’язок, то він єдиний і задається формулою Х*=А-1В.

4. лінійна залежність та ранг системи векторів.

Вектори а1, а2,…,аk векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що

В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.

Якщо вектори а1,а2,…,аk лінійно залежні, тобто , і, наприклад, то

тобто

де

Це означає, що вектор аk є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а1, а2,…,аk лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а1, а2,…,аk називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а1, а2,…,аk}.

Довільна матриця містить дві системи векторів:

систему векторів – рядків {а1,а2,…,аm} і систему векторів – стовпчиків

, де аі=(аі1,аі2,…,аіп), і=1,2,…,m, , j=1,2,…,n.

Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).

Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду