і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.
5.векторний пр-р його розм-ть і базис. Підпр-ри теорема про суму їх розм-й.
Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток бх кожного її елемента х на будь-яке число б теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:
0 – називають нульовим елементом.
–х називають елементом, протилежним до х.
1·х=х.
Елементи векторного простору називають векторами.
Приклади векторних просторів.
Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.
Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.
Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.
Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV
(від dimage-фр).
Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.
Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:
вона лінійно незалежна;
кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Підпростором векторного простору V називається сукупність V1 його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число.
Для встановлення того, що деяка підмножина V1 векторного простору V є його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторів х та у із V1 їх сума х+у теж належить V1, і що для довільного вектора і довільного добуток теж належить V1.
Сумою двох підпросторів V1 і V2 називається множина векторів вигляду де Сума теж є підпростором і позначається V1+V2.
Теорема. Якщо V1 і V2 – підпростори векторного простору V, то
6. лінійні оператори дійсних векторних просторів,їх матриці ранг і дефект.
Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.
Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа б виконуються рівності:
А(х+у)=Ах+Ау, 2)А(бх)=бАх.
В кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця
стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Аеі (і=1,2,…,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.
Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення.
Матрицю А називають матрицею лінійного перетворення. Лінійне перетворення називається виродженим (невиродженим), якщо його матриця вироджена (невироджена).
При невиродженому лінійному перетворенні лінійно незалежні вектори переходять в лінійно незалежні вектори.
Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.
Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.
І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.
а) Якщо то х=Ах1, у=Ау1, де то х+у=Ах1+Ау1=А(х1+у1), де і, значить, .
бх=бАх1=А(бх1), де і, значить, .
Отже, ImА – підпростір простору V.
б) Якщо , тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і
А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(бх)=бАх=б·0=0,
тобто і Отже, KerА – підпростір простору V.
Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае1, Ае2,..., Аеп, де е={e1, e2,…,en} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.
Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектом лінійного перетворення А.
Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,
dim(ImА)+dim(KerА)=n.
7. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення
Розглянемо одновимірні інваріантні підпр-ри. Якщо V1 – такий підпр-р і , то і , і, значить, Ах=бх. Якщо у – будь-який інший вектор із V1, то
у=бх і Ау=А(бх)=б(лх)=л(бх)=лу.
Вектор називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число л, що Ах=лх. Число л називається власним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.
Якщо власні вектори е1, е2, …, еп прийняти за базисні, то із рівностей Ае1=л1е1, Ае2=л2е2,…, Аеп=лпеп матриця перетворення А матиме вигляд:
така матриця називається діагональною). Ясно, що правильне і зворотне: якщо матриця перет-ня А в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису будуть власними век-ми перет-ня А.
Т1.Власні вектори лін-го перет-ня А, що відпов. попарно різним власним знач-м, лін.нез-ні.
Розглянемо питання знаходження власних значень і власних векторів лінійного перетворення.
Припустимо, що х – власний вектор, а л – відповідне йому власне значення лінійного перетворення А. Тоді Ах=лх. Виберемо в просторі V довільний базис е={e1,e2,…,en}, і нехай х=х1е1+х2е2+...+хпеп, а матриця лінійного перетворення А у вибраному базисі має вигляд
Тоді із пункту а) випливає:
Ах=(а11х1+а12х2+..+а1пхп)е1+(а21х1+а22х2+…+а2пхп)е2+..+(ап1х1+ап2х2+..+аппхп)еп==лх=л(х1е1+х2е2+...+хпеп)= л х1е1+ л х2е2+...+ л хпеп .
Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,en випливає:
а11х1+а12х2+…+а1пхп=лх1,
а21х1+а22х2+…+а2пхп=лх2,
………………………………
ап1х1+ап2х2+…+аппхп=лхп,
звідки: Для існування ненульового розв’язку цієї однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:
Ліва частина останньої рівності являє собою многочлен п-го степеня відносно л, який називається характеристичним многочленом перетворення А в базисі е. Він є визначником матриці А-лЕ.
Таким чином, доведено, що кожне власне значення перетворення А є коренем його характеристичного многочлена. І навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена перетворення А буде його власним значенням (відповідні власні вектори знаходяться із останньої системи, яка в даному випадку рівності визначника нулю обов’язково має ненульові розв’язки).
Т2.Характер-й многочлен лін-го перетворення не залежить від вибору базису.
Для того щоб перетворення