8. Лінійні оператори дійсних евклідових просторів.

Введемо у векторному просторі спосіб вимірювання довжин векторів і кутів між ними. Для цього використаємо поняття скалярного добутку.

У звичайному тривимірному пр-рі скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин, помножений на косинус кута між ними. Для векторів х та у їх скал-й добуток позначається (х, у). Отже, (x, y)=(x,y).

Властивості:

x, y V [(x, y)=(y, x)]. В комплексному просторі (х, у)=

x, y V , [(бx, y)=б(x, y)].

x, y, z V [(x+y, z)=(x, z)+(y, z)].

x V [(x, x) ? 0, причому із (х, х)=0 випливає х=0].

У векторному просторі V вважається заданим скалярний добуток, якщо кожній парі векторів x, y V поставлено у відповідність число (х, у) так, що виконуються умови 1-3.

Векторний простір, в якому заданий скалярний добуток, який задовольняє умовам 1 - 4, називається евклідовим простором.

Нехай – лінійне перет-ня(оператор) евклідового простору . Лін-не пер-ня , для якого при всіх x, y V (Ax, y) = ( x, A*y), наз-ся спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перет-ня , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення A.

Нехай A=[aij] – матриця лінійного перет-ня A в ортонормованому базисі

e1, e2, …, en, – матриця, транспонована до , – лінійне перетворення з матрицею в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(Aei, ej) = (a1ie1 + a2ie2 + … + anien, ej) = aji,

(ei, A*ej) = (ei, aj1e1 + aj2e2 + … + ajnen) = aji,

тобто для всіх (Aei, ej) = (ei, A*ej).

Тоді, якщо x = x1e1 + x2e2 + … +xnen i y = y1e1 + y2e2 + … + ynen, то

(Ax, y) = (Axiei, yjej) = xiyj(Aei ej) i

(x, A*y) = (xiei, A*yjej) = xiyj(ei, A*ej) = xiyj(Aei ej) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .

Властивості:

. Дійсно, (x, y) = (x, y) = (x, y) = (x, y).

. Дійсно, (Ax, y) = (x, A*y) = (A*y, x) = (y, (A*)* x) = ((A*)* x, y).

.

Дійсно, (x, (A + B)*y) = ((A + B)x, y) = (Ax + Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =

= (x, A*y) + (x, B*y) = (x, (A* + B*)y).

4.

Дійсно,(x, (AB)*y)=((AB)x, y)=(A (Bx), y)=(Bx, A*y)=(x, B*(A*)y) = (x, (B *A*)y).

5. Якщо існує, то . Дійсно, .

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає із своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x, y V (Ax, y)=( x, Ay).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення A в ортонормованому базисі є A=[aij],тоді A' = A, тобто aij = aji. Така матриця називається симетричною.

Властивості:

Тотожнє перетворення є самоспряженим, оскільки

. 3, .

Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

а) якщо , і , то , тобто .

б) якщо , і , то ,

Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення A, то його ортогональне доповнення інваріантне відносно спряж. до A перет-ня .

Нехай х – довільний вектор із , у – довільний вектор із . Тоді (A*x, y) = = (x, Ay) = 0, оскільки Ay і, значить, хAy. Значить, вектор A*x, і є інваріантним відносно .

Н. Якщо A–самоспряжене перет-ня і підпростір, інваріантний відносноA, то і інваріантний відносно A.

Всі корені характеристичного многочлена самоспряженого перетворення A дійсні (власні значення самоспряженого оператора дійсні).

(Ax, х) = (лx, х), (x, Aх) = = (x, х).

Оск-ки A – самоспряжений, то (Ax, х) = (x, Aх), значить ,тобто – дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого оператора, ортогональні.

Матриця самоспряженого оператора в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

Нехай – одне із власних значень самоспряженого оператора A ( дійсне).

Відповідний власний вектор позначимо е1, тобто Aе1 = л1е1. Вектор е1 можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .

Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е1. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно A. Нехай – (дійсне) власне значення перетворення A в підпросторі , відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е2. Тоді Aе2 = л2е2. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е1 і е2. Тоді підпростір теж інваріантний відносно A. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемо попарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення A. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетворення A зводиться до діагонального вигляду:

Aе1 = л1е1,

Aе2 = л2е2,

…………..

Aеn = лnеn,

звідки А = . Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтами вздовж координатних осей, співнапрямлених з е1, е2,, …, еn відповідно.

Лінійне перет-ня A евклідового простору V наз-ся ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V (Ax, Ay)=(x, y).

Це означає , що ортогональне перет-ня зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно,що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. , тобто .

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A*(Ay)) = (x, A*Ay). Значить, або . Із отриманих рівн-й видно, що ортогональне перет-ня завжди не вироджене.

Перетворення обернене до