Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних пер-нь, взагалі кажучи, не буде ортого-м перет-м.

Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .Мат-ця A, для якої A'=A-1, наз-ся ортом-ю мат-ю.

Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1. Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то: |A|2 = 1 , і .

Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

якщо x–власний век-р і -відповідне йому власне зн-ня ортом-го перет-ня A, то:(x,x)=(Ax,Ax)=(лx,лx)=л2(x,x), звідки, оскільки (x, x) ? 0, отрим. , і .

Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення A, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносно A.

9. Зведення квадратичних форм до канонічного вигляду.

Розглянемо спосіб зведення квадратичної форми до суми квадратів, тобто знайдемо методи вибору такого базису у векторному просторі V , по відношенню до якого квадратична форма подається в канонічному вигляді

А(х, х) = л1x'21 + л2x'22 + … + лnx'2n,

де x'1, x'2, …, x'n – координати вектора х в новому базисі. Коефіцієнти л1, л2, …, лn називаються канонічними коефіцієнтами.

Оскільки кожному перетворенню базису відповідає невироджене лінійне перетворення координат (і навпаки), то питання про зведення квадратичної форми до канонічного вигляду можна розв’язувати шляхом відшукання відповідного невиродженого перетворення координат.

Метод Лагранжа

Теорема. Для довільної квадратичної форми А(х, х), заданої в п-вимірному векторному просторі, існує такий базис, в якому ця форма зводиться до суми квадратів (тобто в якому всі коефіцієнти при попарних добутках координат вектора х рівні нулю).

Тобто, якщо в n – вимірному векторному просторі V задана довільна квадратична форма, то в просторі V існує такий базис, в якому ця форма зведеться до суми квадратів:А(х, х) = л1x'21 + л2x'22 + … + лnx'2n, де – координати вектора x в новому канонічному базисі.

Коефіцієнти можуть мати різні знаки чи дорівнювати нулю. Якщо здійснити підстановку , то А(х, х) = ± z12 ± z22 ± … ±zm2 ,де коефіцієнт перед кожним невідомим рівний або +1, або –1. Змінивши ще й нумерацію базисних векторів, отримаємо А(х, х) = z12 + z22 + … +zp2 – zp+12 - zp+22 - … - zp+q2 . Ця форма запису квадратичної форми A(x,x) називається нормальною.

Приклад. Звести квадратичну форму до суми квадратів. Знайти відповідне невироджене лінійне перетворення і канонічний базис. Розв’язання. А(х, х) Лінійне перетворення:

Це перетворення невироджене, оскільки

Канонічний базис має вигляд: f1 = (1, 0, 0), f2 = (), f3 = (-).

10. Кільце многочленів від 1 змінної. Подільність многочленів.

Многочленом (поліномом) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, де n – довільне ціле невід’ємне число, an, an-1, ..., a1, a0 – елементи цілісного кільця R, x, x2,…, xn-1, xn – деякі символи.

хk називають k-м степенем змінної (невідомого) х, ak – k-м коефіцієнтом многочлена, akxk – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a0 називають ще вільним членом.

Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].

Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степінь многочлена f(x) позначають deg f.

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня xk, називають канонічною. Елемент a0 називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають и(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , aiR, i = 0, 1,…, n,

g(x) = bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0, bjR, j = 0,1,…, m.

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

де при i›n, при j›m.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.

Подільність многочленів

а) Ділення з остачею

Для розгляду теорії подільності многочленів від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами , поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поля Р позначають тепер P[x].

Два різні многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.

Вважається, що многочлен ділиться з остачею на многочлен , якщо в P[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому або r(x)=0, або deg r<deg g.

Теорема (про ділення з остачею).

Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен з цього кільця.

Доведення. Встановимо можливість ділення з остачею. Нехай

Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0. Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).

Нехай nm. Виконаємо доведення методом індукції за n.

При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a0, g(x)=b0?0, тому s(x)=, r(x)=0. Ясно, що s(x) P[x], бо P. Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для