многочленів степеня n.
Розглянемо многочлен р(х)=f(x)– Cтарші члени обох многочленів справа є рівними аnхn, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції, p(x) ділиться з остачею на g(x):
p(x)=g(x)·s1(x)+r1(x), де s1(x),r1(x) P[x], r1(x)=0 або deg r1<deg g.
Звідси f(x) - = g(x)·s1(x)+r1(x), тобто f(x)=g(x)·s(x)+r(x),
де r(x)=r1(x)P[x], s(x)=s1(x), причому r(x)=0 або deg r<deg g.
Можливість ділення f(x) на g(x) з остачею доведена.
Покажемо єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:
f(x)=g(x)•s(x)+r(x), deg r<deg g ; f(x)=g(x)•s*(x)+r*(x), deg r*<deg g.
Віднімемо рівності : g(x)[s(x) – s*(x)]=r*(x) – r(x).
За умовою g(x)0. Якщо б r(x)r*(x), то й s(x)s*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r*(x). Але тоді і s(x)=s*(x). Таким чином, частка і остача єдині.^
б) Ділення многочлена на лінійний двочлен
Розглянемо випадок ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x–б. Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x–б)(An-1xn-1+An-2xn-2+…+A1x+A0)+r.
Тут r = const, оскільки deg r(x)=m–1=1–1=0.
Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах, отримаємо:
an=An-1 An-1=an,
an-1=An-2-бAn-1 An-2=an-1+бAn-1,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a1=A0-бA1 A0=a1+бA1,
a0=r-бA0 r=a0+бA0.
Із отриманих формул випливає, що поділити многочлен на лінійний двочлен можна за певною схемою, яка називається схемою Горнера. |
an | an-1 | an-2 | an-3 | … | a1 | a0
б | an
An-1 | бAn-1+
+an-1
An-2 | бAn-2+
+an-2
An-3 | бAn-3+
+an-3
An-4 | бA1+
+a1
A1 | бA0+
+a0
A0
Т (Безу).Для довільного еле-та б поля Р остача при діленні мног-на f(x)P[x] на x-б дорівнює f(б).
Дійсно, згідно формули ділення з остачею f(x)=(x-б)s(x)+r. Підставимо x=б. Отримаємо f(б)=r, що й треба довести.^
За допомогою багаторазового ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x-б з допомогою схеми Горнера можна дістати розклад многочлена f(x) за степенями двочлена x-б, який часто використовується в алгебрі та математичному аналізі.
f(x)=(x-б)f1(x)+r0,
f1(x)=(x-б)f2(x)+r1,
f2(x)=(x-б)f3(x)+r2,
- - - - - - - - - - - - -
fn-1(x)=(x-б)fn(x)+rn-1.
Ясно, що fn(x) є многочленом нульового степеня. Позначимо fn(x)=rn. Виключивши послідовно всі fi(x), i=1,2,…, n-1, отримаємо
f(x)=rn(x-б)n+rn-1(x-б)n-1+…+r1(x-б)+r0.
Таким чином, отримаємо подання мног-на f(x) як многочлена від змінної y=x-б.
в) Подільність многочленів Важливим для розгляду є випадок ділення многочленів “без остачі”, або, інакше, “націло”. Тоді говорять, що f(x) ділиться на g(x). Позначають: f(x) g(x).
Властивості подільності
(узагальнення2,3).
Всі ці властивості очевидні і випливають безпосередньо із властивостей подільності в довільному цілісному кільці. Два многочлени із P[x] називаються асоційованими, якщо вони діляться один на одного. Такі многочлени можуть відрізнятися тільки сталим множником. Відношення “бути асоційованими” є відношенням еквівалентності.
Спільний дільник многочленів f(x) та g(x), який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається їх найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f,g). НСД многочленів визначається однозначно з точністю до сталого множника (оскільки, якщо d(x) – НСД , то й c·d(x), де , теж НСД).
Многочлени f(x) та g(x) називаються взаємно простими, якщо кожний їхній спільний дільник є ненульовою константою, тобто (f,g)=1.
Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів. Позначається [f, g].
11. Многочлени над числовими полями. Многочлени від багатьох змінних.
а)Многочлени над полем С
Теорема 1. Кожний многочлен степеня вищого одиниці є звідним в полі С.
Доведення. Якщо - многочлен степеня , то існує хоча б один корінь цього многочлена і, за наслідком з теореми Безу, , тобто . Оскільки , то >0, отже, звідний в полі С.^
Наслідок 1. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі С, необхідно і
достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.
Наслідок 2. Кожний многочлен над полем С єдиним способом розкладається
на лінійні множники і цьому полі:,
де ,,…,- корені, - старший коефіцієнт многочлена .
Якщо в розкладі існують кратні множники, то, де ,,…, - різні корені многочлена , ,,…, - відповідно їх кратності.
б) Многочлени над полем R
Теорема 2. Якщо комплексне число є коренем многочлена над полем R ,
то спряжене число теж є коренем цього многочлена.
Доведення. Обчислимо і відокремимо дійсну та уявну частини:
.
Оскільки корінь , то , звідки , .
Обчислимо тепер . Оскільки , як дійсні числа, то
(бо ). Отже, , тобто - корінь .^
Обидва корені та многочлена мають, зрозуміло, однакову кратність.
Теорема 3. Кожний многочлен над полем R , степінь якого перевищує 2, є
звідним у цьому полі.
Доведення. Нехай корінь многочлена над полем R степеня n>2.
Якщо R, то , де і ,тобто звідний в полі R.
Якщо , то теж корінь i
,
де і , причому , тобто - звідний в R.
Із викладеного вище випливає наступне твердження:
кожний многочлен f(x) над полем R має єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі:
в) Многочлени над полем Q
Основна відмінність многочленів над полем Q від многочленів над полями R та С полягає в тому, що над полем Q існують многочлени як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним є довільний многочлен степеня вищого 2, а в кільці С[x] – степеня вищого 1.
Ясно, що будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами .
Терема Ейзенштейна (критерій незвідності).
Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами