1. Уточнення наближених значень коренів рівняння f(x)=0 комбінованим методом хорд та дотичних. Геометрична ілюстрація. Блок-схема методу.

Метод хорд

Нехай корені рів-ня f(x)=0 відокремлені на в-ку [a;b], причому ф-я f(x) двічі диф-на на інтер [a;b] і f’(x), f’’(x)0 і зберігають свій знак на цьому пром-ку.

Суть методу хорд полягає в тому, що криву f(x)заміняємо хордою, яка з’єднує кінці відрізка, а наближеним значенням кореня будемо вважати точку перетину хорди з віссю Ох.

Розглянемо І тип кривої. Графік функції f(x) проходить через точки А(а, f(а)), В(b,f(b)). З’єднаємо точки а і b хордою АВ. Рівняння прямої, що проходить через 2 точки

.

Підставимо у рівняння значення х=с1, y= f(с1)=0, одержимо

=

Для побудови другої хорди опустимо перпендикуляр з точки на криву у= f’(x), де утворилась точка А1(,f()). Побудуємо хорду, з’єднавши точки А1 і В, с2 буде другим наближенням до кореня . Для знаходження координати точки с2 складемо рівняння прямої

.

Оскільки х=с2, у=f(с2)=0, то =. Продовжуючи побудову хорд, одержимо =.

Метод дотичних

Нехай ф-я f(x) двічі неперервно диф-на на в-ку [a;b], при чому f’(x), f’’(x)0 і зберігає свій знак на цьому відрізку. Нехай корінь відокремлений на в-ку [a;b].

Суть методу дотичних полягає в тому, що криву у= f(x) заміняємо дотичною до цієї кривої, проведеної у кінцях відрізка. Точка перетину дотичної з віссю Ох вважається наближенням до розв’язку рівняння.

Проведемо дослідження методом дотичних на І типі кривої. Дотичну будемо проводити до кривої у= f(x) на тому кінці відрізка [a;b], де значення функції f(x) і 2-ї похідної f’’(x) співпадають за знаком.

Позначимо точку перетину першої дотичної з віссю Ох с1, яку будемо вважати першим наближенням до кореня . Знайдемо координату першого наближення. Для цього запишемо рівняння дотичної проведеної до графіка функції у= f(x) в точці В(b,f(b)).

у- f(b)= f`(b)(х- b)

Позначимо координати першого наближення у=0, х=с1.

- f(b)= f`(b)(с1- b)>.

Неперервний корінь рівняння знаходиться на відрізку [a;с1]. Проведемо дотичну до графіка функції у правому кінці відрізка. Тоді формула знаходження другого наближення с2 матиме вигляд

.

В результаті одержимо загальну формулу знаходження n–го наближення

.

В основу методу хорд і дотичних лягли характеристичні особливості методу хорд та методу дотичних, які полягають в тому, що послідовності їх наближень монотонні. При чому для першого типу кривої послідовність наближення методу хорд є монотонно зростаюча, а методу дотичних – монотонно спадна. Одночасне використання цих методів дозволяє наближатися до коренів з 2-х боків, одержуючи наближення з недостачею і надлишку відповідно, при чому корінь завжди буде міститися між двома наближеннями.

Суть комбінованого методу хорд і дотичних полягає в тому, що з одного кінця ми будуємо хорди, а з другого дотичні. Цей метод має вищу швидкість збіжності ніж методи хорд і дотичних окремо взяті.

Малюнок №2

МЕТОД ХОРД

МЕТОД ДОТИЧНИХ

2. Уточнення наближених значень коренів рівняння f(x)=0 методом ітерацій. Геометрична ілюстрація. Блок-схема методу. Достатня умова збіжності методу ітерацій для рівнянь з одним невідомим. Оцінка похибки методу ітерацій для рівнянь з одним невідомим.

Нехай задано рів-ня f(x)=0 при чому корінь цього р-ня відокремлений на в-ку [a;b], а ф-я f(x) неперервна на цьому відрізку. Замінимо дане рів-ня рів-ням , при чому функція неперервно диференційована на в-ку [a;b].

Суть методу ітерації полягає в тому, що ми вибираємо на відрізку [a;b] початкове наближення х0. наступні наближення будемо обчислювати за рекурентною формулою хn=(xn-1), n=1,2,… Якщо послідовна наближеність {xn}є збіжною, тобто має границю lim xn=c, то це є коренем рівняння f(x)=0, а також рівносильного йому рівняння . Дійсно с=lim xn=lim(xn-1)= (lim xn-1)=(c). Збіжна послідовність {xn} забезпечується вибором функції та початковим наближенням х0. якщо х0 вибрати ближче до кореня то швидкість збіжності підвищується, а вибираючи по різному функцію можна одержати різні ітераційні процеси знаходження кореня рівняння =0.

Достатні умови збіжності методу ітерацій:

Т: Нехай функція f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b]

||?q<1. Всі послідовні наближення xn, які визначаються за рекурентною формулою xn=(xn-1) не виходять за межі інтервала [a;b]. Тоді послідовна наближеність xn є збіжною, при чому границя послідовності є єдиним коренем рівняння f(x) = 0 і справджується оцінка

.

Геометричний зміст методу ітерацій

Побудуємо графіки функцій у=х і у=. Розглянемо 4 випадки:

І <1

II >1

III <-1

IV >-1

I Вибираємо точку х0. хn=ц(xn-1) і отримаємо В1, опускаємо перпендикуляр і отримаємо х1. А0(х0,х0), В1(х1, ц(x1)), А1(х1,х1), В2(х2, ц(x2)), А2(х2,х2), В3(х3, ц(x3)).(Графік 1)

ІІ Вибираємо х0, проведем вісь паралельну Оу, потім паралельну Ох – утвориться точка В1. кореня немає, іде розбіжність. (Графік 2)

ІІІ Вибираємо точку х0 ближче до о, піднімаємо перпендикуляр вверх – утвориться точка А0. Горизонтально проводимо пряму – утвориться точка В1, якій відповідає х1. х0, х1, ..., хn віддаляється від кореня – немає збіжності. (Графік 3)

IV Вибираємо х0, піднімаємо перпендикуляр до перетину з прямою у=х. Це буде точка А0. Проводимо паралельну осі Ох і утворилась точка В1, опускаємо перпендикуляр – одержуємо х1. х0, х1, ... послідовно наближуються до кореня. (Графік 4)

Класифікація методів роз-ня систем. Точні методи роз-ня систем лін. алгебраїчних р-нь(СЛАР). Роз-ня СЛАР методом Гауса та уточнення коренів, одержаних цим методом. Погано обумовлені с-ми р-нь.

Розглянемо систему з n рівнянь і n невідомих:

a11x1+ a12x2+…+ a1nxn=b1

a21x1+ a22x2+…+ a2nxn=b2 (1)

…

an1x1+ an2x2+…+ annxn=bn.

Cистему (1) можна записати у вигляді:

, j=1,…,n , i=1,…,n

Розв’язком с-ми(1) називається упорядкований набір (с1,