тоді с-ма буде мати вигляд:

Розкладемо ф-ції f і ц у ряд Тейлора по степенях і :

де і містять величини вищого порядку малості, ніж і . Підставимо ці ф-ції у с-му обмежившись доданками, які є лінійними що до і .

Перенесемо знач ф-ції у праву сторону:

Знайдемо величини і з останньої с-ми викор. метод Крамара:

(12)

(13)

Отже послідовні наближення за методом Ньютона шукаєм за ф-лами:

де і визнач. за ф-лами (12) і (13), а поч. наближення вибираються за допомогою графіків.

6 Постановка задачі інтерполяції. Геометрична ілюстрація інтерполяції функції. Параболічна інтерполяція. Інтерполяційні многочлени та оцінка похибки інтерполяційних многочленів.

В основі багатьох чисельних методів мат. Аналізу лежить заміна однієї ф-ції f(x) іншою ф-цією ц(x) близькою до f(x), яка володіє зручними в-тями, що дозволяють викон. над ц(x) певні аналіт. або обч. Операції. Таку підміну ф-ції наз. апроксимацією. Отже задача апроксимації ф-ції f(x) ф-цією ц(x), полягає у побудові для заданої ф-ції f(x) такої ф-ції ц(x), що викон. .

В якості апроксимації ф-цій ц(x) виберемо многочлени. Нехай на відрізку визначимо клас алгебраїчних многочленів , а в точках x0,x1,…,xn, проміжку задано задання ф-ції y=f(x), y0=f(x0), y1=f(x1),…,yn=f(xn).

Набл-у заміну ф-ї f(x) на відрізку однією з ф-й буд. так щоб ф-я Р(x0,x1,…,xn) набувала тих сам. знач. що і ф-я f(x):y0=Р(x0), y1=Р(x1),,yn=Р(xn).

Озн.Така наближена заміна f(x) на P(x) при виконанні умов наз. інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки x0,x1,…,xn наз. вузлами інтер-ції.

Ф-ція P(x) наз. інтерполюючою ф-цією. Формула за допомогою якої обчислюють значення f(x) на відрізку наз інтерполюючою фор-ю.

З геометр-ї точки зору задача інтерполяції полягає у знаходженні кривої y=Р(x), яка проходить через т. пл-ни (і=)(мал.1 Геом іл.-я інт-ії ф-ї)

Якщо P(x) належить класу алгебраїчних многочленів, то інтерполювання наз. параболічне. Параболічне інтерполювання є найзручніше оск. многочлени, які є прості за ф-лою та не мають особливих точок, можуть набувати довільних значень, їх легко обчислювати, інтегрувати, диференціювати.

Отже задача інтерполяції формулюється так:

В n+1 різних точок x0,x1,…,xn, задамо значення ф-ції f(x) y0=f(x0), y1=f(x1),…,yn=f(xn) і треба побудувати многочлен степеня n ,який задовольняє умову: (і=) (1)

Коефіцієнти невідомі. Використ. умову (1) для знаходження коефіцієнтів складемо с-му з n+1 лінійних алгебраїчних р-нь.

Це є визначник Вандермонда, який не дорівнює 0, оск. всі хі є різні, але практично така інтерполяція многочленна є малоефективна.

Інтерполяц. многочлен Лагранжа.

Побудуєм мног-н Ln(x) степеня n, який задов. умови:Ln(xi)=yi(і=) (2)

Інтерпол. многочлен Ln(x) побудуємо у вигляді:

Ln(x)=а0(х-х1)(х-х2)*…*(х-хn)+а1(х-х0)(х-х2)*…*(х-хn)+…+аk(х-х0)(х-х1)*… (3)

..*(х-хk-1)(х-хk+1)*…*(х-хn)+…+аn(х-х0)(х-х1)*…*(х-хn-1)

де ak коефіцієнти невідомі.

Кожен доданок виразу (3) є многочлен степеня n при чому при кожному з коеф. ak відсутній множник (x-xk) .Визначимо ak корист. умовами (2). Підставимо у (3) x=x0: Ln(x0)=y0=а0(х0-х1)(х0-х2)*…*(х0-хn)

а0= y0/(х0-х1)(х0-х2)*…*(х0-хn)

В загальному одержимо: Ln(xi)=yi= аi(хi-х0)(хi-х1)*...*(хi-хi-1)(хi-хi+1)*…*(хi-хn)

Звідси визначимо аі: аi= yi/(хi-х0)(хi-х1)*...*(хi-хi-1)(хi-хi+1)*…*(хi-хn)

Підставимо знайд. коеф. у ф-лу (3) і одержимо:

(4)

Позначимо многочлен

(5)

Знайдемо похідну від :

(х-х1)(х-х2)*…*(х-хn)+ (х-х0)(х-х2)*…*(х-хn)+…

(хi-х0)(хi-х1)*...*(хi-хi-1)(хi-хi+1)*…*(хi-хn)

Многочлен Ln(x) визн. за ф-лою (4) наз інтерполяційним многочленом Лагранжа, а наближену ф-лу наз. ф-лою Лагранжа.

Вираз наз. коеф. Лагранжа.

Розглянемо два випадки інтерполяційного многочлена Лагранжа. Нехай n=1, тобто з-ня ф-ції f(x) задано в двох точках x0 і x1. Позн. ці з-ня y0 і y1, тоді з ф-ли (4) одержимо: (6)

Таке наближення наз. лінійним інтерполюванням. При лінійному інтерполюванні дуга кривої y=f(x) на відрізку замін. відрізком прямої (6), який проходить через точки і .

Нехай n=2, тоді з ф-ли (4) одержимо таке наближення:

(7)

таке інтерполювання наз квадратичним. При квадратичному інтерполюванні дуга кривої y=f(x) замінюється параболою, що визн. ф-лою (7), що проходить через точки ,і .

Покажемо єдиність побудови інтерполяційного многочлена Лагранжа Припустимо, що існує такий многочлен Qn(x) степеня n, який задов. умови:

Qn(xi)=yi (і=)

Розгл. ф-цію Pn(x), яка дорівнює: Pn(x)= Ln(x)-Qn(x)

Мног-н Pn(x) має степінь не вище n і у всіх вузлах x0,x1,…,xn перетвор-ся в 0.

Многочлен Pn(x) має корені x0,x1,…,xn, таких коренів є n+1, а многочлен n-го степеня може мати тільки n коренів. Отже , а Ln(x)=Qn(x).

Нехай, якщо ф-я f(x) на відрізку є многочленом степеня , то з єдності інтерпол. многочленна Лагранжа випливає, що

Нехай ф-я f(x) на від-ку не є многочленом степеня , тоді буде визн ф-я в вузлах інтерполяції, у всіх інших точках від-ку 0.

Ф-ю Rn(x), яка х-зує точність наближення ф-ції f(x) ф-цією Ln(x) наз. залишковим членом інтерполяц. многочл. Лагранжа.

Т:Якщо вузли інтерполяції xi(і=) різні і належать відрізку , а ф-ція f(x) диф. n+1 раз на відрізку , то для якої викон. нерівність . Якщо , то оцінка залишкового члена запишеться у такому вигляді:

Інтерполяційний многочлен Ньютона

Нехай ф-цію f(x) задано таблично: x0 x1 …. xn

y0 y1 …. yn

причому вузли інтерпол. є рівновіддалені, тобто x0, x0+h, x0+2h,…, x0+nh .Потрібно побудувати інтерпол. многочлен Pn(x) так, щоб викон. умови:

y0=Pn(x0), y1=Pn(x1),…,yn=Pn(xn) (1)

Будемо шукати многочлен у вигляді:

(2)

де невідомі коефіцієнти.

Підставимо в (2) x=x0:

x=x1:

x=x2:

(і=)

Підставимо знайдені коефіцієнти у ф-лу (2):

(3)

Ф-ла (3) наз. першою інтерполяційною ф-лою Ньютона. На практиці дану ф-лу незручно використовувати, тому ввод.

Підставимо у ф-лу (3):

Ф-ла (3) і остання ф-ла наз. інтерполюванням вперед, ці ф-ли викор. тоді коли аргумент знаходиться на початку таблиці .

Коли з-ня аргументу знаходиться в кінці таблиці , то першу інтерпол. ф-лу не вигідно використовувати. Нехай дано n+1 різних рівновіддалених вузлів інтерпол. . Побуд. інтерпол. многчлен у вигляді:

де невідомі коефіцієнти. Знайдемо їх використовуючи ф-лу (1):

в результаті одержимо ф-лу для знах. коефіц.

Підставимо коеф. в многочлен Pn(x) і одержимо таку формулу:

(4)

Ф-ла (4) наз. другою інтерполяц. формулою Ньютона. ЇЇ важко використовувати , тому