Формула Сімпсона

Побудуємо триточкову квадратурну формулу з рівновіддаленими вузлами. Для цього розглянемо інтеграл

, де f(x) – непер. на [x0-h; x0+h] разом з похідною до 4-го порядку включно. Використаємо інтерполяційний многочлен Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через т.(x0-h;f(x0-h); x0; f(x0)) i (x0+h; f(x0+h)) і про інтегруємо його у межах від x0-h до x0+h. Тоді квадратурну формулу будуватимемо методом не визнач. коеф.:

=2h(A(f(x0-h)+f(x0+h))+Bf(x0))+R(f) (3)

Де A і B – невідомі, а R(f) – залишковий член. Щоб одержати р-ня, з яких можна визначити коефіцієнти А і В, подамо ф-ї f(x), f(x0-h), f(x0+h) в околі т.x0 за допомог. ф. Тейлора. Маємо:

f(x)=

Підставимо одержані значення в (3), беручи до уваги те, що:

=

Для залишкового члена R(f) одержимо:

+

При цьому ми використали загальну теорему про середнє значення

Одержимо систему

Звідси А=1/6, В=2/3

Але непер. на [x0-h, x0+h] тому існує таке таке що

Таким чином:

= (4)

Оцінка похибки чисельного інтегрування за ф. Сімпсона (4) має вигляд:

, де

Якщо треба обчислити то [a,b] ділять на 2n рівних відрізків довжиною і до кожного з застосовують ф. Сімпсона (4). Тоді

=

де

Оскільки неперервний на [a;b] то існує т. така що

Таким чинам одержимо узагальнену ф. Сімпсона

з оцінкою залишкового члена

, де

Якщо наближене значення інтегралу треба обчислити з точністю то відповідний крок інтегрування h визначається рівністю

=>

9. Метод Ейлера та його модифікації розв’язку задачі коші для звичайних диф. р-нь. Геометричні ілюстрації цих методів.

Нехай дано , а ф-я f(x,y) визначена на [a;b]. Поділимо цей відрізок на n-частин

;

Мал. 9.1

Розглянемо відрізок про інтегруємо д. р. на цьому вілрізку

Якщо h мале то ф-ю f(x;y) можна вважати сталою і вона приймає значення лівого кінця відрізка

Отже знаходження наближеного розв’язку д.р. за схемою Ейлера відбув. за формулами

Обчислення y(x) за методом Ейлера зручно записувати у таблиці

i | xi | yi | yi?=f(xi,yi) | h yi?

(1) | (2) | (3) | (4) | (5)

1. Заповнимо перший рядок стовпців (1) (2) (3).

2. Обчислимо yi? і записуємо в стовпчик (4)

3. Обчислимо h yi? і записуємо в (5)

4. У стовпчик (3) другого рядка запишемо суму числа з стовпчика (3) і числа (5)

Модифікації:

1). Удосконалений метод Ейлера.

Реалізовують в два етапи.

Обчислюють координати середньої точки проміжка

мал 9.2

Потім шукають

2). Удосконалений метод Ейлера Коші.

Ця модифікація полягає в тому, що спочатку шукаємо грубе наближене значення , використовуючи сам метод Ейлера

Тоді значення

мал. 9.3

Обчислення зручно записувати в табличку

i | Xi | Yi | yi?=f(xi,yi) | h yi?