> 0, рівняння ах = в має єдиний розв’язок.
Функція у = ах (-?; +?), а>1, (якщо 0<а<1, то функція ) і набуває додатних значень.
Застосувавши теорему про корінь (з курсу 10-го класу):
Теорема: Нехай функція f зростає ( ) або спадає ( ) на проміжку І, число а – будь-яке із значень, яких набуває f на цьому проміжку. Тоді рівняння f(х)= а має єдиний корінь на проміжку І, – дістанемо, що рівняння (1) при будь-якому додатному а?1, має єдиний корінь. Щоб його знайти, треба в подати у вигляді в =ас. Очевидно, що с є розв’язком рівняння ах = ас.
Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей.
Приклад 1.
7х – 2 = 3v49.
Оскільки, 49 = 72, то 3v49 = 3v72 = 72/3
Отже, х – 2 = 2/3,
х – 2 = 2• 2/3.
Приклад 2.
Відповідь: 3; – 1.
Приклад 3.
х – 1 = 0
х = 1.
Відповідь: 1.
Приклад 4.
4х – 5 • 2х + 4 = 0, нехай t = 2х; 4х = (2х) = t2.
t2 – 5t + 4 = 0
t-1 = 1 t2 = 4
2х = 1 2х = 4
2х = 20 2х = 22
х = 0 х = 2
Відповідь: 0; 2.
Розв’язання найпростіших показникових нерівностей ґрунтується на відомій властивості функції у = ах, ця функція зростає, якщо а > 1, і спадає, якщо 0 < а < 1.
Приклад 5.
0,57–3х < 4
0,57–3х < 0,5–2
у = 0,5х спадає, тому що (0,5 < 1)
Отже 7 – 3х > –2
х < 3
3 х
Відповідь: (– ?; 3)
Приклад 6.
+
–3 1 х
Відповідь: (– ?; 3) v (1; + ?).
Приклад 7.
t2 – (28/3)t + 3 < 0,
,
а функція складна тому що 1/3 < 1.
Тому розв’язком нерівності будуть такі числа х, що задовольняють нерівність: –2 < х < 1.
Відповідь: (–2; 1).
Приклад 8.
2х + 2у = 12
32х–у = 3
2х + 2у = 12
32х–у = 31
2х + 2у = 12
2х – у = 1
2х + 2у = 12
у = 2х – 1
2х + 22х–1 = 12
у = 2х –1
2х + (1/2) • 22х = 12
у = 2х – 1
2х = t; t > 0
t2 + 2t – 24 = 0
t1 = – 6; t2 = 4
рівняння не має розв’язків: 2х = – 6; 2х = 4
х = 2
у = 4 – 1
х = 2
у = 3
Відповідь: (2; 3).
5. Підсумок уроку.
Повторили правила дій над степенями, властивості показникової функції. Засвоїли поняття показникових рівнянь, нерівностей.
6. Домашнє завдання.
1) Розв’язати рівняння:
2) Розв’язати систему рівнянь:
а) 5х + у = 125
4(х – у)2 – 1 = 1;
б) 3х + 3у = 12
6х + у = 216.
3) Розв’язати нерівності:
а) 34х + 3 ? (1/9)
б) 22х – 1 + 22х – 2 + 22х – 3 < 448
в)
г) Пх – П2х ? 0
д)
Урок № 4, 5.
(семінарське заняття)
Тема: Розв’язання вправ. Самостійна робота.
Мета: Навчитися розв’язувати найпростіші показникові рівняння й нерівності та ті, що безпосередньо зводяться до них.
1. Практична частина.
Клас умовно поділяється на три частини: групи А, В, С. Учні, за власним бажанням, вибирають запропоновані вище варіанти різної складності. Користуючись лекційним матеріалом із зошита, та, при потребі, консультуючись у вчителя, набувають навичок і вмінь розв’язувати рівняння і нерівності.
В – 1 (Група А) В – 2
В – 1 (Група В) В – 2
В – 1 (Група C) В – 2
2. Самостійна робота.
В – 1 (Група А) В – 2
В – 1 (Група В) В – 2
3. Підсумок уроку.
Повторили властивості степенів і окремі властивості показникової функції, розв’язування квадратних рівнянь. Набули навичок і вмінь розв’язувати рівняння й нерівності, які зводяться до найпростіших винесенням множника за дужки і до квадратних відносно показникової функції.
4. Домашнє завдання.
1) Розв’язати рівняння:
Розв’язати нерівність:
3) Розв’язати систему рівнянь:
Підготуватись до контрольної роботи.
Урок № 6.
Тема: Контрольна робота.
Мета: Перевірка набутих навичок і вмінь розв’язувати показникові рівняння й нерівності.
В – 1 В – 2
1. Розв’язати рівняння.
2. Розв’язати нерівність.
3. Розв’язати систему рівнянь.