Згідно (1.1) і (1.4), коливання гратки, не зв'язані зі зміною об'єму елементарної комірки, не змінюють енергії носіїв заряду і, відповідно, не викликають їх розсіювання. Сам вираз (1.1) не випливає однозначно з поставлених вище умов. Скаляр найбільш загального виду, який лінійно виражається через перші похідні вектора зміщення по координатах представляє собою лінійну форму:

. (1.6)

Величини Eѕ утворюють симетричний тензор другого рангу. Тому попередню формулу можна переписати у вигляді:

; (1.7)

де – компоненти тензора деформації.

Формула (1.1) є частинним випадком (1.7), коли тензор Eѕ вироджується в скаляр:

E=E1. (1.8)

Залежність від номера гілки ѕ при цьому стає несуттєвою, оскільки всеодно у взаємодії з електронами беруть участь тільки поздовжні фонони (ѕ=1). Формула(1.8) несправедлива, взагалі кажучи, навіть в кубічному кристалі і для точного розрахунку потрібно користуватись загальним виразом (1.7). Завдяки умовам кристалічної симетрії не всі компо ненти тензора незалежні, але все ж число параметрів, які визначаютьться здосліду, тут більше, ніж в ізотропному випадку (1.8)

Твердження про виключну роль поздовжніх фононів у випадку (1.6) уже не має місця. Дійсно, замість (1.4), ми отримуємо тепер

(1.9)

Сума Eq при . Відповідно поперечні акустичні коливання гратки також дають вклад в розсіювання носіїв заряду в анізотропному випадку (1.6).

Розглянемо кристали з складною структурою елементарноїкомірки(r>1). Сформульовані вище загальні умови, яким поввинен задовільняти гамільтоніан взаємодії, залишаються в силі і тут. Звідси слідує, що енергія взаємодії електрона з довгохвильовими акустичними фононами і в цьому випадку задається формулою (1.1), або її анізотропним узагальненням (1.6). В кристалах з центром симетрії залишаються в силі і явні формули (1.4).

1.3. Нестаціонарна теорія збурень.

У ідеальній кристалічній гратці квазіімпульс електрона зберігається – розсіяння відсутнє. Тому в задачі про розсіяння носіїв заряду врахування неідеальності решітки обов'язкове. Гамільтоніан системи ”електрон + неідеальна гратка“ можна представити у виді [4-6]

H=H0+H' (1.10)

Тут H0 – сума операторів енергії електрона і фононів у ідеальній гратці.

Доданок H' описує зміну енергії електрона при наявності того чи іншого відхилення силового поля від ідеального періодичного. Ми будемо називати H' гамільтоніаном взаємодії електрона з розсіювачами. Останній термін означає той об'єкт, що викликає відхилення силового поля гратки від ідеального періодичного. У багатьох випадках енергія взаємодії носіїв заряду з розсіювачами виявляється достатньо малою, так що при визначенні енергетичного спектра нею можна знехтувати. Тоді роль розсіювачів полягає лише в тому, що при зіткненнях з ними носії заряду можуть віддавати чи отримувати квазіімпульс. Таким чином ми приходимо до стандартної задачі квантової механіки про обчислення ймовірності переходу між двома станами незбуреної системи під впливом збурення H'. Роль незбуреної системи в даному випадку відіграють невзаємодіючі один з одним електрони і фонони. Відповідно в оператор H0 входить і енергія коливань кристалічної гратки.

Позначимо через сукупність квантових чисел, які характеризують різні стани незбуреної системи. Відповідні хвильові функції позначимо через , а власні значення енергії, які їм належать,- через :

(1.11)

Так, у випадку одного електрона в ідеальній гратці є сукупність номера зони l і компонент квазіімпульса (проекцію спіну у випадку необхідності будем включати в ). ри цьому є функцією Блоха. Для електронів у гратці, що коликаються, є сукупність і чисел фононів у всіх можливих станах; при цьому є добутком функції Блоха на хвильову функцію решітки.

Функція Блоха і нормальні коливання гратки підлягають умовам періодичності в кубі об'ємом V=L3. Тоді всі можливі значення компонент квазіімпульса електрона і квазіхвильового вектора фонона

, ;

,

(1.12)

де nx, ny, nz – додатні чи від'ємні цілі числа або нулі.

Функції будемо вважати ортонормованими:

, (1.13)

де ' – символ Кронекера (багатомірний), а символ d... означає інтегрування по координатах електрона (по фундаментальному об’єму) і по дійсним нормальним координатам гратки.

Хвильову функцію, обчислену з врахуванням енергії взаємодії H', позначемо через . Нехай в початковий момент часу (t) система знаходиться у стані :

|t. (1.14)

У наступні моменти часу хвильова функція буде змінюватись згідно рівняння Шредінгера

(1.15)

При відсутності взаємодії H' ми отримали би звідси

(1.16)

як і повинно бути в стаціонарному стані. При врахуванні взаємодії це вже не так:

функції не є власними функціями повного гамільтоніана HH0+H' і, відповідно, не описують стаціонарних станів. Покладемо

, (1.17)

де с''- поки - що невідомі коефіцієнти розкладу. Згідно загальним правилам квантової механіки величини |с''(t)|2 є ймовірностями виявити систему в момент часу t у стані ''. Сума їх, взята за всіма можливими значеннями '', рівна одиниці при всіх t:

?''|с''(t)|2=1. (1.18)

Рівняння для коефіцієнтів с'' легко знайти, підставляючи функцію (1.16) у рівняння (1.15), домножуючи результат зліва на ' і користуючись рівностями (1.11) і (1.13). Отримаємо

. (1.19)

Початкова умова до цієї системи рівнянь, згідно (1.14), має вигляд

c'|t=0='. (1.20)

Інтеграли у правій частині