. (1.21)

Таким чином,

. (1.22)

Як видно з рівнянь (1.22), при t?0 коефіцієнти c' при '? стають, взагалі кажучи, відмінними від нуля, а величина |c|2,відповідно, зменшується в силу (1.18). Це є математичний вираз нестаціонарності стану при відсутності збурення H'.

Точний розв'язок системи (1.22) пов'язаний з математичними труднощами. Наближений розв'язок можна отримати за методом збурень. А саме, припустимо, що енергія взаємодії,що описується оператором H', достатньо мала. Тоді систему (1.22) можна розв'язувати інтеграціями, рахуючи матричні елементи ('|H'|'') величинами першого порядку малості.

Розглянемо спочатку випадок '?. Тоді в першому наближенні у праву частину (1.22) можна підставити незбурене значення . Останні, очевидно, співпадають з початковими значеннями (1.20). Дійсно, з виду системи (1.22) безпосередньо випливає, що зміна коефіцієнтів з часом обумовлена тільки наявністю взаємодії H'. Таким чином, при '?

. (1.23)

звідси, з врахуванням 1.20, отримаємо

. (1.24)

Отже, ймовірність виявити систему в момент часу t у стані ' є

(1.25)

Підставляючи (1.25) в ліву частину рівності (1.18), можемо знайти - ймовірність того, що система залишиться в стані л.

Диференціюючи вираз по t, отримаємо ймовірність переходу, віднесену до одиниці часу:

(1.26)

Формулу (1.26) не можна безпосередньо використовувати в кінетичному рівнянні, бо вона відноситься до переходів між станами дискретного спектра: ми розглядали компоненти квазіімпульсу, як і компоненти квазіхвильового вектора фонона, як дискретні величини. Перехід від дискретного спектра до неперервного легко зробити, враховуючи, що ми завжди маємо справу з системами макроскопічно великих розмірів. Це дозволяє спростити вираз (1.26) при великих t. Другий співмножник у правій частині (1.26) асимптотично при t>? перетворюється в д-функцію, і ми отримаємо

. (1.27)

Таким чином, переходи відбуваються лише між станами з однаковою енергією: .

Величини не обов’язково характеризують стани тільки електрона: в залежності від конкретних умов вони можуть відноситись і до системи “електрон+фонони” чи “електрон+електромагнітне поле світлової хвилі” і т.д. З іншого боку, в інтегралі зіткнень кінетичного рівняння фігурують величини, що визначають ймовірності даного електронного переходу, безвідносно до того, що робиться, наприклад, з фононами. Щоб отримати їх, треба взяти суму по всіх “неелектронних” квантових числах, які входять в склад ' (наприклад, по всіх квазіхвильових векторах фононів, і по всіх гілках фононного спектра). Позначимо сукупність чисел фононів по всіх станах nf через n. Тоді і віднесена до одиниці часу ймовірність електронного переходу буде:

. (1.28)

В задачі про розсіювання носіїв заряду нас цікавлять ймовірності W при . Очевидно, що для ймовірності переходу:

(1.29)

Функція розподілу f відноситься до зони з номером l. Легко побачити, що при t>? ми отримаємо для ймовірності переходу наступну асимнтотику:

(1.30)

Однак фактичний час t, на протязі якого можуть бути справедливі рівності (1.23) і (1.26) обмежений. Дійсно, в першому наближенні теорії збурень не враховуються повторні акти розсіювання. Але вони з великою ймовірністю повинні відбутись через інтервал часу порядку часу вільного пробігу ф. Таким чином, повинна виконуватись рівність:

t<< ф. (1.31)

Ця нерівність не пов’язана безпосередньо з використанням теорії збурень. Вона завжди з’являється, якщо ми взагалі маємо справу з кінетичним рівнянням.

Формула (1.30) зводить кінетичну задачу до обчислення матричних елементів оператора взаємодії.