(1.12)

де nx, ny, nz – додатні чи від'ємні цілі числа або нулі.

Функції будемо вважати ортонормованими:

, (1.13)

де ' – символ Кронекера (багатомірний), а символ d... означає інтегрування по координатах електрона (по фундаментальному об’єму) і по дійсним нормальним координатам гратки.

Хвильову функцію, обчислену з врахуванням енергії взаємодії H', позначемо через . Нехай в початковий момент часу (t) система знаходиться у стані :

|t. (1.14)

У наступні моменти часу хвильова функція буде змінюватись згідно рівняння Шредінгера

(1.15)

При відсутності взаємодії H' ми отримали би звідси

(1.16)

як і повинно бути в стаціонарному стані. При врахуванні взаємодії це вже не так:

функції не є власними функціями повного гамільтоніана HH0+H' і, відповідно, не описують стаціонарних станів. Покладемо

(1.17)

де с''- поки - що невідомі коефіцієнти розкладу. Згідно загальним правилам квантової механіки величини |с''(t)|2 є ймовірностями виявити систему в момент часу t у стані ''. Сума їх, взята за всіма можливими значеннями '', рівна одиниці при всіх t:

?''|с''(t)|2=1. (1.18)

Рівняння для коефіцієнтів с'' легко знайти, підставляючи функцію (1.16) у рівняння (1.15), домножуючи результат зліва на ' і користуючись рівностями (1.11) і (1.13). Отримаємо

(1.19)

Початкова умова до цієї системи рівнянь, згідно (1.14), має вигляд

c'|t=0='. (1.20)

Інтеграли у правій частині (1.19) є матричними елементами оператора ' в системі функцій . Введемо для них позначення

(1.21)

Таким чином,

(1.22)

Як видно з рівнянь (1.22), при t?0 коефіцієнти c' при '? стають, взагалі кажучи, відмінними від нуля, а величина |c|2,відповідно, зменшується в силу (1.18). Це є математичний вираз нестаціонарності стану при відсутності збурення H'.

Точний розв'язок системи (1.22) пов'язаний з математичними труднощами. Наближений розв'язок можна отримати за методом збурень. А саме, припустимо, що енергія взаємодії,що описується оператором H', достатньо мала. Тоді систему (1.22) можна розв'язувати інтеграціями, рахуючи матричні елементи ('|H'|'') величинами першого порядку малості.

Розглянемо спочатку випадок '?. Тоді в першому наближенні у праву частину (1.22) можна підставити незбурене значення . Останні, очевидно, співпадають з початковими значеннями (1.20). дійсно, з виду системи (1.22) безпосередньо випливає, що зміна коефіцієнтів з часом обумовлена тільки наявністю взаємодії H'. Таким чином, при '?

(1.23)

звідси, з врахуванням 1.20, отримаємо

(1.24)

отже, ймовірність виявити систему в момент часу t у стані ' є

(1.25)

Підставляючи 1.25 в ліву частину рівності 1.18, можемо знайти - ймовірність того, що система залишиться в стані л.

Диференціюючи вираз по t, отримаємо ймовірність переходу, віднесену до одиниці часу:

(1.26)

формулу 1.26 не можна безпосередньо використовувати в кінетичному рівнянні, бо вона відноситься до переходів між станами дискретного спектру: ми розглядали компоненти квазіімпульсу, як і компоненти квазіхвильового вектора фонона, як дискретні величини. Перехід від дискретного спектра до неперервного легко зробити, враховуючи, що ми завжди маємо справу з системами макроскопічно великих розмірів. Це дозволяє спростити вираз (1.26) при великих t. Другий співмножник у правій частині (1.26) асимптотично при t>? перетворюється в д-функцію, і ми отримаємо

(1.27)

таким чином, переходи відбуваються лише між станами з однаковою енергією: .

Величини не обов’язково характеризують стани тільки електрона: в залежності від конкретних умов вони можуть відноситись і до системи “електрон+фонони” чи “електрон+електромагнітне поле світлової хвилі” і т.д. З іншого боку, в інтегралі зіткнень кінетичного рівняння фігурують величини, що визначають ймовірності даного електронного переходу, безвідносно до того, що робиться, наприклад, з фононами. Щоб отримати їх, треба взяти суму по всіх “неелектронних” квантових числах, які входять в склад ' (наприклад, по всіх квазіхвильових векторах фононів, і по всіх гілках фононного спектра). Позначимо сукупність чисел фононів по всіх станах nf через n. Тоді і віднесена до одиниці часу ймовірність електронного переходу буде:

(1.28)

В задачі про розсіювання носіїв заряду нас цікавлять ймовірності W при . Очевидно, що для ймовірності переходу:

(1.29)

функція розподілу f відноситься до зони з номером l. Легко побачити, що при t>? ми отримаємо для ймовірності переходу наступну асимнтотику:

(1.30)

Однак фактичний час t, на протязі якого можуть бути справедливі рівності 1.23 і 1.26 обмежений. Дійсно, в першому наближенні теорії збурень не враховуються повторні акти розсіювання. Але вони з великою ймовірністю повинні відбутись через інтервал часу порядку часу вільного пробігу ф. Таким чином, повинна виконуватись рівність:

t<< ф (1.31)

Ця нерівність не пов’язана безпосередньо з використанням теорії збурень. Вона завжди з’являється, якщо ми взагалі маємо справу з кінетичним рівнянням.

Формула (1.30) зводить кінетичну задачу до обчислення матричних елементів оператора взаємодії.

Розділ 2. Електронне загасання ультразвуку в твердих тілах.

2.1. Напівпровідники. Поглинання та випромінювання електроном фотона.

Електрон-фононну взаємодію в ковалентних кристалах часто можна

вважати відносно слабкою. Якщо в напівпровідниках концентрація носіїв заряду мала, то можна знехтувати екрануючими ефектами, які обумовлюють взаємодію носіїв заряду між собою. Використаємо далі метод потенціалу деформації, запропонований Бардіном і Шоклі, для довгохвильових фононів [7].

Нехай в недеформованому кубічному ковалентному кристалі розглядається електронна енергетична зона, яка є не виродженою і має сферичну форму. Вона описується виразом:

(2.1)

де m* - ефективна маса електрона провідності (в цьому розділі прийнято систему одиниць, в якій h=1).

Нехай тепер пройшла невелика однорідна деформація, а описується тензором деформації з компонентами . В результаті такого збурення поверхня енергії зміниться. Вид її можна визначити:

(2.2)

де збережені тільки основні члени. У випадку напівпровідника значення хвильового вектора надзвичайно малі, і член з можна не враховувати. Якщо енергетична поверхня кристала в недеформованому стані має вид сфери, то після деформації не може бути непарною функцією зсувних