(3.29)

3.4. Коефіцієнт поглинання ультразвуку

За означенням коефіцієнт поглинання ультразвуку дорівнює:

(3. 30)

звідки з урахуванням (3.29) маємо:

(3. 31)

1. Розглянемо спочатку наближений випадок, коли

Тоді

(3.32)

і коефіцієнт поглинання

(3.33)

тут ми зробили перехід від сумування до інтегрування, тобто вважаємо, що кх набуває неперервних значень:

(3.34)

Нехтуючи величиною отримаємо:

(3.35)

Враховуючи відому властивість дельта –функції [13]:

(3.36)

можемо легко про інтегрувати (3.35), в результаті чого маємо:

(3.37)

Для виродженого електронного газу, який описується статистикою Фермі-Дірака у випадку одномірного поступального руху

, (3.38)

де , - стала Больцмана, Т- абсолютна температура, - хімічний потенціал одновимірного електронного газу дроту.

- енергія вільної частинки.

Легко бачити, що

(3.39)

Знайдемо (3.28) з отриманого раніше значення для з (3.26)

(3.40)

Підставляючи ці результати у вираз для коефіцієнта загасання ультразвуку , отримаємо:

(3.41)

Отже, в кінцевому підсумку коефіцієнт загасання ультразвуку:

(3.42)

де: - лінійна густина маси дротини, [ r ] =г/см

(3.43)

Розглянемо важливий частинний випадок, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дротини.

тоді

(3.44)

Оскільки

При низьких температурах

(3.45)

Тобто в границі низьких температур загасання звуку електронами вздовж довжини квантової дротини (осі х) буде експоненціально малим, на відміну від випадку тривимірних систем, де воно є значним і відіграє основну роль. Отже, квантовий дріт може в принципі бути низькотемпературним звукопроводом. Слід зауважити також, що з (3.42) випливає осциляційна залежність коефіцієнта загасання a від товщини квантового дроту d (в напрямку осі z) і зменшення a за гауссівським законом від осциляторного поперечного розміру yo.

2. Загальний випадок

Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли не можна вважати, що

і не виконується розклад z (3.32).

(3.46)

Введено нову величину, яка виражається через частоту звуку:

(3.47)

причому

(3.48)

Позначимо вираз, що не залежить від х-вих складових вектора :

(3.49)

В результаті після інтегрування в (3.46), маємо:

(3.50)

Tаким чином, коефіцієнт згасання:

(3.51)

(3.51a)

Для випадку, коли звукова хвиля поширюється вздовж осі х дроту

і коефіцієнт загасання виявляється рівним:

(3.52)

або (3.52a)

де (3.53)

Додаток

Д1. Енергія Фермі одновимірного електронного газу.

Умова нормування для функції розподілу Фермі-Дірака:

(Д 1.1)

де - повне число електронів.

Перейдемо до інтегрування:

(Д 1.2)

де (Д 1.3)

(Д 1.4)

Метод визначення даного інтеграла наведено в [8].

Розглянемо інтеграл:

(Д 1.5)

де (Д 1.6)

(Д 1.7)

; (Д 1.8)

введемо нову змінну:

. (Д 1.9)

Тоді інтеграл можна представити у виді:

(Д 1.10)

Розкладемо функцію в ряд Тейлора по степенях :

. (Д 1.11)

при (випадок низьких температур):

; (Д 1.12)

(Д 1.13)

Проведемо заміну змінних:

. (Д 1.14)

(Д 1.15)

У нових змінних інтеграл має такий вигляд:

. (Д 1.16)

З математичної фізики та теорії спеціальних функцій відомо, що інтеграл виду

є бета-функцією Ейлера.

Позначимо оператор диференціювання , тоді

, (Д 1.18)

. (Д 1.19)

(Д 1.20)

. (Д 1.21)

За означенням бета-функція визначається через гамма-функції:

(Д 1.22)

Розкладемо отриманий результат в ряд:

(Д 1.23)

Підставимо у вираз для І(у)

(Д 1.24)

(Д 1.25)

, (Д 1.26)

Підставимо отримані результати в умову нормування:

(Д 1.27)

(Д 1.28)

введемо нову величину, що визначається так:

, (Д 1.29)

тоді

(Д 1.30)

(Д 1.31)

Звідки легко отримаємо:

(Д 1.32)

При (Д 1.32) можна розкласти в ряд, в результаті чого будемо мати:

, (Д 1.33)

. (Д 1.34)

Д 2. Константа електрон-фононної взаємодії для одновимірного електронного газу (метод потенціалу деформації).

. (Д 2.1)

. (Д 2.2)

Для одновимірного випадку

(Д 2.3)

(Д 2.4)

(Д 2.5)

(Д 2.6)

(Д 2.7)

У в тривимірному випадку було б:

(Д 2.8)

(Д 2.9)

Д 3. Обчислення деяких інтегралів

(Д 3.1)

оскільки інтеграл Лапласа

. (Д 3.2)

=

(Д 3.3)

Оскільки n=1, 3, 5, ..., то цей результат можна записати так:

(Д 3.4)

РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ

1. В даній роботі сформульовано модель квантового дроту, розташованого вздовж осі х, і з поперечними розмірами, обмеженими одновимірною потенціальною ямою з нескінченно високими стінками (вздовж осі z) і осциляторним потенціалом (вздовж осі у). Розглянуто вироджений електронний газ у квантовому дроті.

2. На основі квантово-механічного підходу визначено електронне загасання ультра- і гіперзвуку при низьких температурах, коли довжина вільного пробігу електрона значно перевищує довжину звукової хвилі.

3. Показано існування осциляційної залежності коефіцієнта електронного загасання від ширини потенціальної ями (вздовж осі z) і гауссового зменшення від амплітуди осцилятора у0.

4. Визначено температурну і частотну залежності коефіцієнта поглинання ультра гіперзвуку вільними носіями заряду при низьких температурах.

3’ясовано принципову можливість використання квантових дротів як низькотемпературних звукопроводів вздовж довжини дроту (в напрямку осі х).

ЛІТЕРАТУРА

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.-Л.: Физматгиз. 1962. – 750 с.

Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. Л.: Наука, 1970.- 386с.

Блатт Ф. Теория подвижности электронов в твёрдых телах. М.: ИЛ, 1963.- 499с.

Блохинцев А.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976.-520с.

Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977.-672с.

Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.-495с

Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. М: Наука, 1968.-420с.

Киттель Ч. Элементарная статистическая физика. М: ИЛ., 1960.-278с.

Красильников В.А. Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука., 1964.-393с.

Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Квантовая механика.-М.: Наука. 1974.-752с.

Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Статистическая физика (класическая и квантовая). М.: Наука, 1976.-683с.

Арсенин В.Я. Методы математической физики и спецфункции. М.: Наука, 1984.-383с.

Прудников А.П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М: Наука, 1981.-800с.

Рувінський М.А., Остафійчук Б.К., Галущак М.О., Фреїк Д.М., Яцура М.М. Курс загальної фізики. Квантова фізика атомів, молекул і конденсованих середовищ. Київ-Івано-Франківськ: Плай, 1978. - 520с.

Тихонов А.Н. Самарский А А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-735с.

Шутилов В А. Основы физики ультразвука. М.: Физматгиз., 1974.-134с.