Розділ 2. Електронне загасання ультразвуку в твердих тілах.

2.1. Напівпровідники. Поглинання та випромінювання електроном фотона.

Електрон-фононну взаємодію в ковалентних кристалах часто можна

вважати відносно слабкою. Якщо в напівпровідниках концентрація носіїв заряду мала, то можна знехтувати екрануючими ефектами, які обумовлюють взаємодію носіїв заряду між собою. Використаємо далі метод потенціалу деформації, запропонований Бардіном і Шоклі, для довгохвильових фононів [7].

Нехай в недеформованому кубічному ковалентному кристалі розглядається електронна енергетична зона, яка є не виродженою і має сферичну форму. Вона описується виразом:

(2.1)

де m* - ефективна маса електрона провідності (в цьому розділі прийнято систему одиниць, в якій h=1).

Нехай тепер пройшла невелика однорідна деформація, а описується тензором деформації з компонентами . В результаті такого збурення поверхня енергії зміниться. Вид її можна визначити:

(2.2)

де збережені тільки основні члени. У випадку напівпровідника значення хвильового вектора надзвичайно малі, і член з можна не враховувати. Якщо енергетична поверхня кристала в недеформованому стані має вид сфери, то після деформації не може бути непарною функцією зсувних компонент тензора деформації. Отже, для всіх можна рахувати , тоді для малих маємо:

, (2.3)

де - відносна зміна об’єму;

- константа, яка може бути визначена за допомогою вимірювань під тиском.

Було встановлено, що в останній вираз треба додати член, який має компоненти зсувних деформацій у виді:

. (2.4)

де - компоненти одиничного вектора у напрямі . Коефіцієнт перетворюється в нуль тільки для сферичної ізоенергетичної поверхні.

Для вільного електронного газу , - енергія Фермі. На поверхні Фермі кінетична енергія (на один електрон) рівна:

, (2.5)

де N - число електронів в об'ємі . Таким чином:

(2.6)

або

(2.7)

Звідки випливає висновок, що електрони рухаються так, щоб кожна частина кристалу була електрично-нейтральною. Це зберігається при квазістатичних збуреннях, довжини хвиль яких великі порівняно з довжиною екранування.

Нехай для акустичних довгохвильових фононів співвідношення (2.3) можна узагальнити у виді:

. (2.8)

Таке ж узагальнення можна поширити і на член (2.4). Відносна зміна об'єму пов'язана тільки з акустичними фононами.

В борнівському наближенні ми маємо справу з матричними елементами оператора , які побудовані з незбуреними одно електронними блохівськими функціями.

, (2.9)

де - періодичні функції з періодом гратки.

У представленні вторинного квантування оператор збурення, яке обумовлює потенціал деформації, має вигляд:

, (2.10)

оператори описують повздовжні фонони з хвильовим вектором , а - оператори електронів.

На величину накладаються обмеження. Існування електрон-фононної взаємодії (2.10)означає, що стан електрона з хвильовим вектором відсутності збуджених фононів не може бути точним власним станом системи – завжди буде існувати хмара віртуальних фононів, яка супроводжує електрон Фононна хмара змінює енергію електронів. Якщо число віртуальних фононів, які супроводжують електрон, порядку одиниці чи більше, то ми не можемо користуватись теорією збурень.

Рис. 1. – Поглинання (а) та випромінювання (б) електроном фонона.

Обчислимо ймовірність того, що за одиницю часу електрон з хвильовим вектором поглине фонон з хвильовим вектором . Початкову заселеність фононного рівня позначимо . Тоді

. (2.11)

де - збурення, обумовлене взаємодією з потенціалом деформації.

, (2.12)

де - швидкість поздовжньої звукової хвилі.

Ймовірність того, що за одиницю часу електрон з хвильовим вектором випустить фонон з хвильовим вектором буде пропорційна квадрату модуля матричного елемента

. (2.13)

За допомогою (2.11) – (2.13) можна визначити електронне загасання ультразвуку в напівпровідниках [5, 9.16].

2.2. Акустичне загасання в металах.

Розглянемо спочатку загасання повздовжніх фононів в газі вільних електронів при відсутності статичного магнітного поля. При звичайному методі розрахунку ймовірностей переходу припускається, що середня довжина вільного пробігу електрона всіх випадках велика в порівнянні з довжиною хвилі фонона . Інакше електронні стани уже не можна трактувати як плоскі хвилі або описувати їх блохівськими функціями. Тоді енергія електрона

, (2.14)

де - видовження,

а - енергія Фермі .

Член Гамільтона, який описує збурення, має вигляд [7]

. (2.15)

де - густина кристала.

Ймовірність того, що за одиницю часу фонон в стані /буде поглинутий

при розсіюванні на електроні, який при цьому перейде із стану в стан рівна

(2.16)

Після усереднення по ансамблю всіх електронів в тепловій рівновазі отримаємо

(2.17)

де - функція розподілу Фермі,

- швидкість звуку.

Аналогічно для ймовірностей випромінювання фонона можна записати

(2.18)

Використовуючи два останні співвідношення отримаємо рівняння

, (2.19)

де час релаксації фононів визначається виразом

(2.20)

Тут припускається, що для спіну допускаються дві орієнтації. Членом порядку в дельта-функції ми нехтуємо, оскільки <<cs. Суму по можна переписати в інтегральній формі

(2.21)

Таким чином для коефіцієнта , який характеризує загасання маємо

, () (2.22)

Це - загальний правильний результат для розглядуваної моделі. Тут середня довжина вільного пробігу електронів провідності з врахуванням всіх процесів, які мають відношення до явища, яке ми розглядаємо.

Електрони, що відповідають за процеси поглинання енергії, яка передається фононам, це головним чином ті електрони, компонента швидкості яких вздовж напрямку поширення фононів рівна швидкості фононів. Закон збереження енергії в цьому випадку має вигляд

, (2.23)

звідки, нехтуючи членом з , отримаємо

, (2.24)

де - компонента швидкості електрона в напрямку .

В іншому граничному випадку, коли довжина вільного пробігу мала, тобто коли , задача зводиться до обчислення загасання фононів, обумовленого в'язкістю електронного газу. Із акустики відомо [7, 9.16], що коефіцієнт поглинання енергії в газі у цьому граничному випадку

, (2.25)

де коефіцієнт в'язкості газу Фермі визначається за формулою

, (2.26)

де n – концентрація вільних електронів.

Тут припускається постійність часу електронної релаксації. Отже, ми маємо

()