§ ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

1. Похідні вищих порядків явно заданої функції

Нехай на інтервалі (а; b) задана диференційована функція у=f(x), тоді її похідна f'(х), яку називатимемо ще першою похідною (або похідною першого порядку), також є функцією від х. Може тра-питись, що функція f’(х) також має похідну на інтервалі (а; b) або в деякій точці х (а; b). Цю останню похідну називають другою похідною (або похідною другого порядку) і позначають одним із таких символів:

Друга похідна має такий механічний зміст. Якщо рух матеріаль-ної точки відбувається за законом S = f (t), то похідна S', дорівнює швидкості точки в даний момент часу: v=S'=f' (t). Оскільки прискорення — це похідна від швидкості, то

Отже, другу похідну можна тлумачити як величину, що дорів-нює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Похідну від другої похідної, якщо вона існує, називають третьою похідною, або похідною третього порядку, і позначають так:

Похідною n-го порядку функції у=f(х) називають першу по-хідну, якщо вона існує, від похідної (n-1)-го порядку:

або

Похідні порядку вище першого називають похідними вищого порядку. Починаючи з похідної четвертого порядку, похідні позначають не штрихами, а цифрами. Порядок похідної береться в дужки для того, щоб не сплутати його з показником степеня.

Похідні вищих порядків неявно заданої функції

Функція у=f(х) задана неявно рівністю F(х, у)=0. Диференціюючи цю рівність по х і розв'язуючи одержане рівняння.

Щоб знайти другу похідну, потрібно продиференціювати по х першу похідну і в одержане співвідношення підставити її значення. Продовжуючи диференціювання, можна знайти одну за одною по-слідовно похідні будь-якого порядку. Всі вони будуть виражені через незалежну змінну х і саму функцію у.

Похідні вищих порядків параметричне заданої функції

Нехай функція у = f (x) задана параметричне рівняннями

Якщо функції х (t) і у (t) мають перші похідні, причому , а х(t) строго монотонна функція, то, як відомо, першу похідну знаходять за формулою

Якщо функції х (t) і у (t) мають похідні Другого порядку, то можна знайти другу похідну від у по х:

Дійсно, диференціюючи першу похідну за правилом диференціюван-ня складеної функції і використовуючи похідну оберненої функції, маємо

Аналогічно знаходять похідну будь-якого порядку n>2: