І. Лінійні топологічні простори

Поняття лінійного топологічного простору.

Для введення означення лінійного топологічного простору розглянемо наступні означення.

Означення. Векторним простором над полем R (або С) називається множина Х, на якій визначені дві операції – множення на число і додавання, - які володіють наступними властивостями:

а) Кожній парі векторів x, y відповідає вектор x + y , причому

1) x + y = y + x

2) x + (y + z) = (x + y) +z

3) існує єдиний вектор о є Х, такий, що х + о = х для всіх х є Х

4) для всіх х є Х існуєєдиний вектор –х, такий, що х + (-х) = 0

б) Кожній парі (б, х), де х є Х, б – число, відповідає вектор бх, причому

1) 1 х = х

2) б (в x) = (б в) x

3) б (x + y) = б x + б y

4) (б + в) x = б x + в x

Якщо векторний простір заданий над полем дійсних чисел R (комплексних чисел С), то він називається дійсним (комплексним).

Для векторного простору Х, його підмножин А, В, елемента х і числа л будемо вживати наступні позначення:

х + А = {х + а: а є А}, х – а = {х – а: а є А}, А + В = {а + b: а є А, b є В}, л А = {л А: а є А}

Означення. Множина Y X називається підпростором простору Х, якщо Y є векторним простором відносно тих самих операцій. Це виконується тоді і тільки тоді, коли 0 є Y і б Y + в Y Y для всіх чисел б, в.

Означення. Множина С Х називаєься опуклою, якщо tC + (1–t)C C (0 ? t ? 1), тобто вимагається, щоб С містила t x + (1 – t) y, якщо х є С, y є С і 0 ? t ? 1.

Означення. Множина називається зрівноваженою, якщо б В В, для довільного числа б, такого, що | б | ? 1.

Векторний простір Х має розмірність n (dim X = n), якщо він має базис {U1, … , Un}.

Означення. Векторний простір Х називається нормованим простором, якщо всім х є Х відповідає невід’ємне дійсне число ||х|| (яке називається нормою), що володіє наступними властивостями:

а) || x + y || ? || x || + || y || для всіх x, y є Х

б) || б х || = | б | ? || х || для всіх х є Х і довільного числа б

в) || х || = 0 тоді і тільки тоді, коли х = 0.

Означення. Метрикою на множині Х називається довільна функція двох аргументів d: х Ч х > R, для якої виконано умови:

а) для довільних x, y є Х: d (x,y) ? 0;

б) для довільних x, y є Х: d (x,y) = 0 - x = y;

в) для довільних x, y є Х: d (x,y) = d (y,x);

г) для довільних x, y, z є Х: d (x,z) ? d (x,y) + d (y,z).

Пару (X, d), де Х – довільна множина, а d – метрика на Х, називають метричним простором.

Означення. Топологією на множині Х називається довільна сім’я ф її підмножин, для якої виконано умови:

а) множини ш та Х належать до ф

б) для довільних U, V є ф перетин U ? V теж належить до ф

в) для кожної сім’ї F ф об’єбнання її елементів F належить до ф.

Пару (Х, ф), де Х – довільна множина, а ф – топологія на Х, називають топологічним простором. Елементи ф називаємо відкритими множинами. Доповнення до відкритих множин називаємо замкненими множинами.

Означення. Замикання U E множини Е – це перетин всіх замкнених множин, які містять Е.

Означення. Внутрішність Int E множини Е – це об’єднання всіх відкритих множин, які містяться в Е.

Означення. Окіл точки p є S – це довільна відкр. множина, що містить цю точку.

Означення. Якщо Х0 Х і ф0 – це сукупність всіх перетинів Х0 ? U, де U є ф, то ф0 – це топологія індукована на Х0.

Означення. Кажемо, що топологія ф породжується метрикою d, якщо ми отримали топологію на множині Х, обравши сім’ю ф усіх множин, відкритих відносно d. (Якщо топологія породжується метрикою, то d і ф сумісні).

Означення. Множина топологічного простору називається компактною, якщо з довільного її покриття відкритими множинами можна вибрати скінченне підпокриття.

Означення. Сім’я в ф називається базою топології ф, якщо довільний елемент із ф є об’єднанням деяких елементів із в.

Означення. Сукупність г околів точки х є (Х, ф) називається локальною базою в точці х, якщо довільний окіл цієї точки містить деякий окіл, що належить до г.

Означення. Простір L називається лінійним топологічним простором, якщо він є топологічним простором, векторним простором відносно операцій додавання і множення на число, які є неперервними:

а) якщо х1, х2 є Х і V – окіл точки х1 + х2, то мають існувати такі околи V1, V2 точок х1, х2, що V1 + V2 V.

б) якщо х є Х, б – число, V – окіл dx, то для деякого р > 0 має існувати окіл W точки х,