Означення. Підмножина Е лінійного топологічного простору називається обмеженою, якщо для кожного околу нуля V в Х існує таке число S > 0, що Е t V для всіх t > S.

Розглянемо наступні оператори: Та(х) = а + х, Мл(х) = л х, х є Х які відповідно називаються операторами зсуву і множення. Відображення Та і Мл є гомеоморфізмами х на х. Наслідком останнього твердження є те, що векторна топологія (топологія лінійного топологічного простору) ф інваріантна відносно зсувів: Множина Е х відкрита тоді і тільки тоді, коли всі її зсуви а + Е є відкритими множинами. Таким чином, ф повністю визначається за допомогою локальної бази. Для лінійного топологічного простору термін локальна база означає локальну базу в точці 0. Тому справедливе наступне означення.

Означення. Локальна база лінійного топологічного простору – це така сім’я в околів нуля, що довільний окіл нуля містить деякий окіл, що належить в.

Відкритими множинами в Х є ті і тільки ті множини, які можна подати у вигляді об’єднання зсувів околів із в.

Розглянемо наступні типи лінійних топологічних просторів. В наступних означеннях Х буде означати лінійний топологічний простір з топологією ф.

Означення. Х локально опуклий, якщо існує локальна база в, яка складається із опуклих околів.

Означення. Х локально обмежений, якщо існує обмежений окіл нуля.

Означення. Х локально компактний, якщо існує окіл нуля, замикання якого компактне.

Означення. Х метризований, якщо топологія ф породжується деякою метрикою.

Означення. Х є F-простором, якщо його топологія ф породжується деякою повною інваріантною метрикою (інваріантність означає:

d (x + z, y + z) = d (x, y) для всіх x, y, z із Х).

Означення. Х називається простором Фреше, якщо він є локально опуклим F-простором.

Означення. Х називається нормувальним, якщо в ньому існує така норма, що індукована нею метрика сумісна з топологією ф.

Означення. Х володіє властивістю Гейне-Бореля, якщо кожна замкнена обмежена підмножина в Х компактна.

До лінійних топологічних просторів відносяться нормовані та банахові (означення буде дано пізніше).

Розглянемо деякі твердження, що пов’язують між собою попередньо означені простори і їх властивості.

Теорема 1. Припустимо, що К і С – підмножини лінійного топологічного простору Х, причому К – компактна, С – замкнена і КПС = ш. Тоді існує такий окіл нуля V, що (К + V) ? (C + V) = ш.

Доведення. Для доведення використаємо наступне твердження. Для довільного околу нуля W в Х існує такий окіл нуля U, який є симетричним (в тому розумінні, що U = -U), що виконується включення U + U W. Із рівності 0 + 0 = 0 і неперервності суми випливає існування таких околів нуля V1, V2, що V1 + V2 W. Поклавши U = V1 ? V2 ? (-V1) ? (-V2), отримаємо окіл нуля U, що U + U W. Застосувавши подібні міркування до U замість W, отримаємо, що U + U + U + U W. Ясно, що цей процес можна продовжити.

Якщо К = ш, то К + V = ш і твердження теореми стає тривіальним. Тому припустимо, що К ? ш і розглянемо деяку точку х є К. Как як замкнена множина С не містить х і так як топологія в х інваріантна відносно зсувів, то і з доведеного вище випливає існування такого околу нуля Vх, що х + Vx + Vx + Vx не перетинається з С. Звідси одержимо, що (x + Vx + Vx) ? (C + Vx) = ш (*). Оскільки К – компактна, то в ній існує така скінченна множина точок х1, ... , хn, що К (х1 + VX1) … (xn + VXn). Покладемо V = VX1 ? … ? VXn. Тоді К + V (xi + VXi + V) (xi + VXi + VXi). Звідси отримаємо правильність твердження, бо ні одна з множин xi + VXi + VXi не перетинається з C + V в силу (*).

Означення. Простір (Х, ф) називається гаусдорфовим (ф-гаусдорфовою топологією), якщо будь-які дві точки х1, х2 з Х мають неперетинні околи U, V.

Теорема 2. Кожний лінійний топологічний простір є гаусдорфовим.

Доведення. Кожна точка х є Х є замкненою множиною. Застосуємо попередню теорему, взявши замість множин К, С пару точок. Тоді з висновку теореми випливає, що вони матимуть неперетинні околи. Отже, простір х є гаусдорфовим.

Теорема 3. Нехай маємо лінійний топологічний простір Х.

Якщо А Х, то U A = ? (А + V), де V пробігає всі околи нуля.

Якщо А Х і В Х, то U A + U B U (A + B).

Якщо Y – підпростір простору Х, то U Y – також підпростір.

Якщо С – опукла підмножина в Х, то U C і Int C також опуклі.

Якщо В – зрівноважена підмножина в Х, то U B також зрівноважена. Якщо при цьому 0 є Int B, то Int B зрівноважена.

Якщо Е – обмежена підмножина в Х, то U E також обмежена.

Доведення. 1) х є U A тоді і тільки тоді, коли (х + V) ? A ? ш для довільного околу нуля V, а це можливо тільки в тому випадку, коли х є А - V для довільного околу нуля V.