Твердження 1) очевидне щоб довести 2), припустимо, що х є К, у є К, 0 < t < 1 і tx + (1 – t) y = z є Sf. Так як z є S і S є Р, то х є S і у є S. Тому Re f (x) ? m і Re f (у) ? m. Оскільки Re f (z) = m, а функціонал f лінійний, то матимемо, що Re f (x) = m = Re f (y), звідки х є Sf і у є Sf.

Зафіксуємо деяку множину S є Р і позначимо через Р? сукупність всіх підмножин S, що належать до Р. Так як S є Р?, то Р? не порожня. Частково впорядкуємо Р? за допомогою теоретико-множинного включення. Нехай ? - максимальна лінійно-впорядкована підсім’я в Р?, і нехай М – перетин всіх множин, що входять до ?. Так як ? - центрована система компактних множин, то М ? Ш. В силу 1) М є Р. Із максимальності ? випливає, що ніяка власна підмножина М не входить до Р. Тому в силу 2) всякий функціонал f є Х* сталий на М. Так як Х* розділяє точки в Х, то М складається з єдиної точки, яка, очевидно, є крайньою точкою множини К. Отже, ми довели, що всяка компактна крайня підмножина S множини К містить крайню точку множини К. Із доведеного випливає, що якщо Н – опукла оболонка множини всіх крайніх точок К, то для довільного S є Р множина Н S не порожня.

Так як К компактна і опукла, то UH К. Тому UH компактне. Припустимо (з метою одержати суперечність), що деяка точка х0 є К не належить до замикання Н, тобто х0 ў UH. За теоремою 9 (цього розділу) існує такий функціонал f є Х*, що Re f (x) < Re f (x0) для всіх х є UH. Ясно, що UH не перетинається з множиною Кf (яка визначається за допомогою конструкції, описаної в твердженні 2)). Але, згідно 2), Кf є Р, і ми отримали суперечність.

Зауваження. Опуклість множини К використовувалась тільки для доведення компактності UH. Якщо простір Х в припущенні є локально опуклим, то компактність UН не потрібна, оскільки в цьому випадку замість теореми 9 можна використати твердження 2) теореми 3 (цього розділу). Наведені вище міркування показують, що в даному випадку К UH. Таким чином, ми одержуємо наступний варіант теореми Крейна-Мільмана.

Теорема 11. Якщо Х – локально опуклий простір, а Е множина всіх крайніх точок компактна К Х, то К міститься в замкненій опуклій оболонці множини Е. (Еквівалентне формування: замкнені опуклі оболонки множини К і Е співпадають).