топологічного топологічного простору полягає в існуванні околу нуля, замикання якого компактне.
Теорема 6. Нехай Y – підпростір лінійного топологічного простору Х, локально компактний в індукованій із Х топології. Тоді Y – замкнений підпростір в Х.
Доведення. Існує така компактна множина К Y, внутрішність якої (відносно Y) містить 0. Тому існує такий окіл нуля U в Х, що U ? Y К. Виберемо симетричний окіл нуля V в Х, для якого U V + U V U. Ми стверджуємо, що для довільного х є Х множина Q = Y ? (x + U V) компактна (можливо порожня). Щоб переконатись в цьому, зафіксуємо точку y0 є Q. Для довільного у є Q y – y0 = (y – x) + (x – y0) U V + U V U. Крім того, у – у0 є Y, так як Y – підпростір. Тому y – y0 є U ? Y К, звідки випливає, що Qміститься в компактній площині у0 + К. В той же час Q є замкненою підмножиною в Y, оскільки x + U V замкнена в Х, а Y наслідує свою топологію із Х. Таким чином, Q є замкненою підмножиною компактної множини і тому компактна.
Зафіксуємо тепер х є U Y. Нехай в – сукупність всіх тих відкритих підмножин W простору Х, для яких 0 є W і W V. Поставимо у відповідність кожному W є в множину Еw = Y ? (x + U W). Оскільки W V, то всі Ew множини компактні. Так як х є U Y, то вони непорожні. Перетин скінченного числа множин із в також належить в. Звідси випливає, що {Ew: W є в} є центрованою системою компактних множин (тобто такою системою, довільна скінченна підсистема якої має непорожній перетин). Тому існує z є ? Ew. Ця точка z належить Y. З другого боку, z є х + U W для довільного W є в. Тому z = х (теорема 2). Звідси, х є Y. Ми показали, що U V = Y, тобто Y – замкнений.
Теорема 7. Всякий локально компактний лінійний топологічний простір Х скінчений, тобто dim X ? m.
Доведення. Нехай V – окіл нуля з компактним замиканням в Х. За теоремою 5 він обмежений і множини 2-n V (n = 1, 2, 3, …) утворюють локальну базу в Х. Із компактності U V випливає існування таких х1, ... , хm в Х, що U V (х1 + V) ... (хm + V).
Нехай Y – лінійний (векторний) підпростір в Х, з базисом х1, ... , хm. Тоді dim Y ? m. Підпростір Y замкнений в Х. Так як V Y + V і л Y = Y для довільного числа л ? 0, то V Y + t V, звідки V Y + V Y + Y + V = Y + V. Продовжуючи такі міркування отримаємо: V (Y + 2-n V). Оскільки {2-n V} – локальна база із твердження (1) теореми 3 випливає, що V U V. Але U Y = Y. Таким чином, V Y, звідки k V Yдля к = 1, 2, 3, ... Тому згідно твердження (1) теореми 5, Y = x. Звідки, dim X ? m.
Теорема 8. Якщо Х – локально обмежений лінійний топологічний простір, який володіє властивістю Гейне-Бореля, то він скінченний.
Доведення. За припущенням в Х існує обмежений окіл нуля V. Твердження (6) теореми 3 показує, що U V також обмежений. За властивістю Гейне-Бореля U V компактне. Це означає, що простір Х локально компактний, а за теоремою 7 скінченний.
Означення. Нехай d – метрика на множині Х. Послідовність {xn} в Х називається послідовністю Коші, якщо для будь-якого е > 0 існує таке натуральне N, що d (xm, xn) < е, як тільки m > N і n > N.
Означення. Простір, в якому кожна послідовність Коші має границю, називається повним, а метрика, з якою множина стає повним простором, теж називають повною.
Означення. Повний, нормований простір називають банаховим.
Означення. Нехай ф топологія лінійного топологічного простору. Послідовність {xn} в Х називається послідовністю Коші, якщо для кожного околу нуля V є в (в – фіксована локальна база) існує таке N, що xn = xm є V як тільки n > N і m > N.
Нагадаємо, що означення обмеженості підмножини Е лінійного топологічного простору полягає в тому, що для довільного околу нуля V, для достатньо великих додатніх t має виконуватись включення Е t V.
Якщо х ? 0 і Е = {n x : n = 1, 2, ... }, то Е необмежена. Дійсно, існує окіл нуля V, який не містить точки х; при цьому n x не міститься в n V, звідки випливає, що Е не міститься ні в одній з множин n V. Звідси можна зробити висновок: Ні один підпростір простору Х, крім {0}, не може бути обмеженим.
Теорема 9. Наступні дві властивості підмножини Е лінійного топологічного простору еквівалентні:
Е обмежена;
Якщо {xn} – довільна послідовність точок із Е, а {бn} – така послідовність чисел, що бn > 0 при n > ?, то бn xn > 0 при n > ?.
Доведення. Припустимо, що Е