Якщо ж Е не обмежена, то існує такий окіл нуля V і така послідовність чисел рn > ?, що ні одна з множин рn V не містить Е. Виберемо такі точки хn є Е, що хn ў pn V. Тоді ні одна з точок рn-1 xn не належить до V, так що послідовність { рn-1 xn} не прямує до 0.

3. Локальна опуклість. Напівнорми.

Для розгляду цих питань розглянемо поняття лінійного відображення і функціоналу.

Означення. Якщо Х, Y – множини і кожному х є Х відповідає єдине y є Y, то кажуть, що задано відображення множини Х в множину Y і записують f: Х > Y.

Якщо А Х і В Y, то множини f (A) = {f (x) : х є А} і f-1(B) = {x : f (x) є В} відповідно називають образом множини А і прообразом множини В.

Означення. Нехай Х, Y – векторні простори над одним і тим же полем чисел. Відображення f : Х > Yназивається лінійним, якщо для всіх х, у є Х і всіх чисел б, в виконується наступна умова: f (б х + в у) = б f (x) + в f (y).

Означення. Лінійне відображення простору Х в його поле чисел називається лінійним функціоналом. (f : Х > R або f : Х > С).

Означення. Множина Кеr f = {х є Х : f (x) = 0} називається ядром відображення f. Розглянемо деякі властивості лінійних відображень. Нехай А Х і В Y.

f (0) = 0;

Якщо А – підпростір (або опукла чи зрівноважена множина), то f (A) – підпростір (опукла чи зрівноважена множина відповідно)

Якщо В – підпростір (або опукла чи зрівноважена множина), то f-1 (B) – підпростір (опукла чи зрівноважена множина відповідно).

Означення. Нехай Х, Y – лінійні топологічні простори, а f : Х > Y – лінійне відображення, тоді f називається обмеженим, якщо воно переводить обмежені множини в обмежені, тобто f (E) є обмеженою підмножиною простору Y для довільної обмеженої множини Е Х.

Означення. Напівнормою на векторному просторі Х називається така дійсна функція р на Х, що для всіх х, у є Х і всіх чисел б виконуються наступні умови:

а) р (х + у) ? р (х) + р (у)

б) р (б х) ? | б | р (х)

Означення. Сім’я Р напівнорм на Х називається розділюючою, якщо для кожного х ? 0 існує хоча б одна напівнорма р є Р для якої р (х) ? 0.

Означення. Опукла множина А Х називається поглинаючою, якщо довільна точка х є Х належить до t A для деякого t = t (x) > 0.

Означення. Функціоналом Мінковського МА (х) = inf {t > 0 : t-1 x є А}, х є Х.

Напівнорми на Х – це в точності функціонали Мінковського всеможливих зрівноважених опуклих поглинаючих множин.

Напівнорми тісно пов’язані з поняттям локальної опуклості (нагадаємо що Х локально опуклий, якщо існує локальна база в, яка складається із опуклих околів). А саме, в локально опуклому просторі існує розділююча сім’я неперервних напівнорм. Навпаки, за допомогою довільної розділюючої сім’ї напівнорм Р на векторному просторі Х можна визначити в Х таку локально опуклу топологію, відносно якої всі напівнорми р є Р неперервні. Цей метод часто використовується для задання топології.

Теорема 10. Нехай р – напівнорма векторного простору Х. Тоді:

р (0) = 0;

| р (х) – р (у) | ? р (х – у);

р (х) ? 0;

{х : р (х) = 0} є підпростором Х;

Множина В = {х : р (х) < 1} є опуклою, зрівноваженою і поглинаючою, причому р = МВ.

Доведення. Твердження 1) випливає із умови р (б х) = | б | р (х) при б = 0. Із півадитивності р випливає нерівність р (х) = р (х – у + у) ? р (х – у) + р (у). Звідси р (х) – р (у) ? р (х – у); справедлива така нерівність при зміні х на у. Так як р (х – у) = р (у – х), то маємо справедливість 2). Із 2) при у = 0 випливає 3). Якщо р (х) = р (у) = 0 і б, в – числа, то в силу 3) 0 ? р (б х + в у) ? | б | р (х) + | в | р (у) = 0, звідки отримаємо 4). Щодо 5), то дійсно, що В – зрівноважена. Якщо х є В, у є В і 0 < t < 1, то р (t x + (1 – t) y) ? t p (x) + (1 – t) p (y) < 1. Тому В – опукла. Якщо х є Х і s > р (х), то р (s-1 x) = s-1