Теорема 11. Припустимо, що А – випукла поглинаюча множина в векторному просторі Х. Тоді:

мА (х + у) ? мА (х) + мА (у);

мА (t x) = t мА (х) при t ? 0;

Якщо А зрівноважена, то мА є напівнормою;

Якщо В = {х : мА (х) < 1} і С = { х : мА (х) ? 1}, то В А С і мВ = мА = мС.

Доведення. Співставимо кожному х є Х множину НА (х) = {t > 0 : t-1 x є А}. Припустимо, що t є НА (х) і s > t. Тоді, оскільки 0 є А і А – опукла, s є НА (х). Тому НА (х) – це півпряма з лівим кінцем в точці мА (х). Нехай мА (х) < s, мА (у) < t і u = s + t. Тоді s-1 x є А і t-1 є А, а так як А опукла, то точка u-1 (x + y) = (s / u) (s-1 x) + (t / u) (t-1 y) належить А. Тому мА (х + у) ? u. Звідси випливає 1). Властивість 2) очевидна, а 3) випливає із 1) та 2). Якщо мА (х) < 1, то 1 є НА (х), тому що х є А. Ясно, що якщо х є А, то мА (х) ? 1. Тому В А С. Звідси випливає, що для довільного х є Х виконується включення НВ(х) НА(х) НС(х), звідки мС (х) ? мА (х) ? мВ (х). Припустимо, що мС (х) < s < t. Тоді s-1 x є С, і тому мА (s-1 х) ? 1, так що мА (t-1 х) ? s / t < 1. Звідси t-1 x є В, а мВ (t-1 х) ? 1 і мВ (х) ? t.

Теорема 12. Нехай в – опукла зрівноважена локальна база в лінійному топологічному просторі Х. Співставимо кожному околу V є в її функціонал Мінковського мV. Тоді {мV : V є в} – розділююча сім’я неперервних напівнорм в Х.

Доведення. Оскільки V – опукла зрівноважена поглинаюча множина, то мV є напівнормою. Якщо х є Х і х ? 0, то х ? V для деякого околу V є в. Ясно, що тоді мV ? 1. Таким чином, {мV} – розділююча сім’я. Якщо х є V, то, оскільки V відкрита, t x є V для деякого t > 1. Звідси мV (х) < 1 для х є V. Якщо р > 0, то за теоремою 10 отримаємо, що | мV (х) – мV (у) | ? мV (х – у) < р для х – у є р V.

Тому всі мV неперервні.

Теорема 13. Нехай Р – розділююча сім’я напівнорм на векторному просторі Х. Співставимо кожній напівнормі р є Р і кожному цілому додатньому числу n множину V (p, n) = {x : р (х) < }. Нехай в – сукупність всіх скінченних перетинів множин V (p, n). Тоді в – опукла зрівноважена локальна база топології ф в Х, яка перетворює Х в локально опуклий підпростір, причому

всі напівнорми р є Р неперервні відносно ф;

множина Е Х обмежена тоді і тільки тоді, коли кожна напівнорма р є Р обмежена на Е.

Доведення. Назвемо множину А Х відкритою в тому і тільки тому випадку, коли вона є об’єднанням (можливо порожнім) зсувів деяких множин із в. Ясно, що таким чином ми одержимо інваріантну відносно зсувів топологію ф на Х. Кожна множина із в опукла і зрівноважена, і в є локальною базою топології ф. Нехай х є Х і х ? 0. Тоді р (х) > 0 для деякої напівнорми р є Р. Якщо n p (x) > 1, то х ў V (p, n), так що 0 не належить околу х – V (p, n) точки х, і тому х не належить замиканню {0}. Таким чином, {0} – замкнена множина, а так як топологія ф інваріантна відносно зсувів, то довільна точка в Х є замкненою множиною. Покажемо, що додавання і множення на число неперервні. Нехай U – окіл нуля в Х. Тоді U V (p1, n1) ? … ? V (pm, nm) (*) для деяких р1, ... рm є Р і деяких цілих додатніх n1, … , nm. Покладемо V = V (p1, 2n1) ? … ? V (pm, 2nm) (**). Так як кожна напівнорма напівадитивна, то V + V U. Цим показана неперервність суми. Нехай тепер б – число, х є Х, U, V – розглянені вище околи нуля. Тоді х є S V для деякого s > 0. Покладемо t = s / (1 + | б | s). Якщо у є х + t V і | в – б | < 1 / s, то вектор в у – б х