Припустимо, що множина Е Х обмежена. Зафіксуємо деяку напівнорму р є Р. Так як V (p, 1) є околом нуля, то Е кV (p, 1) для деякого скінченного додатнього к. Але тоді р (х) < к для всіх х є Е. Таким чином, кожна напівнорма р є Р обмежена на Е.

Припустимо тепер, що Е задовільняє останній умові. Нехай U – окіл нуля і нехай V (pi, ni) вибрані так, що виконана умова (*). Існують такі числа Мі < ?, що рі ? Мі на Е (1 ? і ? m). Звідси випливає, що Е n U, якщо n > Mi ni при 1 ? і ? m. Тому множина Е обмежена.

Знаючи поняття функціоналу Мінковського можна довести, що одну властивість лінійного топологічного простору.

Теорема 14. Лінійний топологічний простір Х нормувальний тоді і тільки тоді, коли в ньому існує опуклий обмежений окіл нуля.

Доведення. Якщо Х нормувальний і || ? || - норма сумісна з його топологією, то відкрита одинична куля {x : || х || < 1} є опуклим обмеженим околом нуля.

Для доведення протилежного твердження припустимо, що V – опуклий обмежений окіл нуля в Х. За теоремою 4 він містить опуклий зрівноважений окіл нуля U. Ясно, що U також обмежений. Покладемо || х || = м (х) (*) х є Х, де м – функціонал Мінковського для U. За твердженням 3) теореми 5 множини p U (p > 0) утворюють локальну базу топології простору Х. Якщо х ? 0, то х ў р U для деякого р > 0. Звідси || х || ? р. Тому із теореми 11 випливає, що (*) визначає норму в Х. Із визначення функціоналу Мінковського і того факту, що U – відкритий, випливає, що {x : || х || < р} = p U для довільного р > 0. Тому топологія, індукована побудованою нормою, співпадає з початковою топологією на Х.

II. Опуклість

Теорема Гана-Банаха

Означення. Спряженим простором до лінійного топологічного простору X називається векторний простір Х*, який складається із всіх неперервних лінійних функціоналів визначених на Х.

Додавання і множення на число в просторі Х* визначається формулами

(f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2 (x), (бf)(x) = бf (x). Ці операції дійсно перетворюють Х* в векторний простір.

Означення. Адекватний функціонал f на на комплексному векторному просторі Х називається дійсно лінійним (комплексно лінійним), якщо f (бx) = бf (x) для довільного х є Х і довільного дійсного (відповідно комплексного) числа б.

Теорема 1 (Гана-Банаха). Припустимо, що

М є підпростором дійсного векторного простору Х;

Функція р : Х > R задовільняє умови p (x + y) ? p (x) + p (y) і p (tx) = tp (x) для всіх х є Х, у є Х і t ? 0.

Функціонал f : M > R лінійний і f (x) ? p (x) на М.

Тоді існує такий лінійний функціонал q : X > R, що q (x) x є М і

-р (-х) ? q (x) ? p (x) x є Х.

Доведення. Якщо М = Х, то q (x) = f (x) для всіх х є Х. Нехай М ? Х, тоді виберемо такий вектор Z є Х, що Z ў М і покладемо М1 = {х + tz : x є М, t є R}. М1 буде підпростором в Х. На М1 має виконуватись f1 (x) ? р (х), де f1 (x + tz) = f (x) + tб, б = f1 (Z). Отже, f1 (x) + tб ? р (х+ tz), але f1 (x) = f (x) для х є М, то f (x) + tб ? р (х+ tz). Підберемо сталу б, щоб виконувалась остання нерівність. Враховуючи лінійність f і умови, що задовольняє р, виконаємо наступні перетворення: f (x / t) + б ? p (x/t + z), f (-x/t) – б ? p (-x/t – z). Звідси б ? p (x/t + z) - f (x/t) і б ? f (-x/t) – p (-x/t – z). Отже, виконується подвійна нерівність f (-x/t) – p (-x/t – z) ? б ? p (x/t + z) - f (x/t). Покажемо, що ні при яких значеннях нижня межа не буває більшою за верхню межу, тобто потрібно показати, що f (-x/t) + f (x/t) ? p (-x/t - z) + p (x/t + z), для всіх х, z є М1.

Позначимо -x/t = уґ, x/t = уґґ, тоді f (уґ) + f (уґґ) = f (уґ+ уґґ) ? p (уґ+ уґґ) = p ((уґ - z) + (уґґ + z)) ? p (уґ - z) + p (уґґ + z ). Отже, цим показано, що б1 ? б