Другу частину доведення виконаємо за допомогою методу трансфінітної індукції і теореми Гаусдорфа про існування максимальних лінійно впорядкованих підмножин. Нехай Р – множина всіх впорядкованих пар (Мґ, fґ), де Мґ- підпростір простору Х, який містить М, а fґ- такий лінійний функціонал на Мґ, що fґ = f на М і fґ ? p на Мґ. Введемо на Р відношення часткового порядку так: (Мґ, fґ) ? (Мґґ, fґґ), якщо Мґ= Мґґ і fґ= fґґ на Мґ. За теоремою Гаусдорфа, в Р існує максимальна лінійно впорядкована підмножина Щ. Нехай Ф – множина всіх тих підпросторів Мґ простору Х, що (Мґ, fґ) є ? для деякого лінійного функціоналу fґ на Мґ. Тоді Ф лінійно впорядкована відносно теоретико-множинного включення. Звідси, об’єднання К всіх підпросторів, які містяться в Ф, є підпростором простору Х. Якщо х є К, то х є Мґ для деякого Мґ є Ф.

Покладемо q (x) = fґ(x), де fґ(x) – функціонал, який разом з Мґ утворює пару (Мґ, fґ) є ?. Звідси функціонал q коректно визначений на К, лінійний і співпадає з f на М, при чому q ? p на К. Якщо б К виявився власним підпростором простору Х, то конструкція, вказана в першій частині доведення, дозволила б продовжити q на більший підпростір, а це суперечило б максимальності ?. Тому К = Х. На кінець, із нерівності q ? p випливає, що -р (-х) ? -q (-х) = q (х) для всіх х є Х.

Теорема 2. Нехай М – підпростір векторного простору Х, р – напівнорма на Х, а f – такий лінійний функціонал на М, що ¦f (x)¦ ? p (x) x є М. Тоді на Х існує такий лінійний функціонал q, що q (x) = f (x) для х є М і ¦q (x)¦є p (x) для х є Х.

Доведення. В дійсному випадку твердження цієї теореми міститься в попередній теоремі, оскільки р (-х) = р (х) для довільної напівнорми р. В комплексному випадку покладемо u = Re f. За попередньою теоремою на Х існує такий дійсно лінійний функціонал ц, що ц = u на М і ц ? p на Х. Нехай q – комплексно лінійний функціонал на Х, дійсна частина якого співпадає з ц. Звідси одержимо, що q = f на М. На кінець для всякого х є Х існує таке б є С, що ¦б¦= 1 і бq (х) = ¦q (х)¦. Тому¦q (х)¦= q (бх) = ц (бх) ? p (бx) = р (х).

Наслідок. Якщо Х – нормований простір і х0 є Х, то існує такий лінійний функціонал, q є Х*, що q (х0) = ¦х0¦ і ¦ q (х)¦ ? ¦х¦ для всіх х є Х.

Доведення. Якщо х0 = 0, візьмемо q = 0. Якщо ж х0 ? 0, то застосувавши попередню теорему для випадку, коли р (х) = ¦х¦, М – одновимірний підпростір, породжений вектором х0, а функціонал f на М визначається умовою f (бх0) = б¦х0¦, в обох випадках одержимо висновок даного наслідку.

Відокремленість множин

Теорема 3. Нехай А, В – непорожні опуклі неперетинні підмножини лінійного топологічного простору Х.

1). Якщо А відкрита, то існує такий функціонал q є Х* і таке дійсне число г, що Re q (x) < г ? Re q (y) для всіх х є А і всіх у є В.

2). Якщо А компактна, В замкнена, а Х локально опуклий, то існує такий функціонал q є Х* і такі дійсні числа г1 і г2, що Re q (x) < г1 <г2 < Re q (y) для всіх х є А і всіх у є В.

Доведення. Достатньо довести теорему для випадку поля дійсних чисел. Дійсно, якщо розглядати поле С, а в дійсному випадку теорема вже доведена, то на Х існує неперервний дійсний лінійний функціонал q1, який дає потрібне відокремлення, при чому q1 – неперервний і володіє потрібними властивостями. Тому будемо вважати, що поле чисел дійсне.

1). Зафіксуємо а0 є А і b0 є В. Нехай х0 = b0 – а0. Покладемо С = А – В + х0. Тоді С – опуклий окіл нуля в Х. Нехай р – його функціонал Мінковського. За теоремою 11 (першого розділу) р задовольняє умовам 2) теореми Гана-Банаха. Так як А ? В = ?, то х0 ў С і тому р (х0) ? 1. Покладемо f (tx0) = t на підпросторі М простору Х, який породжується (тобто М) вектором х0. Якщо t ? 0, то f (t x0) = t ? tp (x0) = p (t x0). Якщо ж t < 0, то f (t x0) < 0 ? p (t x0). Таким чином, f ? p на М. За теоремою Гана-Банаха, f продовжується до лінійного функціоналу у на Х, при чому q ? p. Зокрема, q ? 1 на С, і тому q ? -1 на -С, так що ¦q¦? 1 в околі нуля С ? (-С). Функціонал