q неперервний на Х. Якщо тепер а є А і b є В, то q (а) - q (b) + 1 = q (a – b + x0) < 1, оскільки q (x0) = 1, a – b + x0 є С, а С відкрита. Таким чином q (a) < q (b). Звідси випливає, що q (А) і q (B) – неперетинні опуклі підмножини в R, при чому q (A) повністю лежить лівіше від q (B). Крім того, q (А) відкрита, оскільки А відкрита, а всякий ненульовий лінійний функціонал на Х є відкритим відображенням. Звідси, q (А) – обмежений справа відкритий інтервал. Для завершення доведення твердження 1) достатньо в якості г взяти правий кінець інтервалу q (А).
2). За теоремою 1 (першого розділу) існує такий опуклий окіл нуля V, що (A + V) ? B = ?. Застосувавши твердження 1) до множин A + V і В, одержимо, що існує такий функціонал q є Х*, що q (А + V) і q (B) є неперетинними опуклими підмножинами дійсної осі, причому q (А + V) відкрита і повністю лежить зліва від q (B). Звідси випливає правильність твердження 2), оскільки q (А) – компактна підмножина множини q (А + V).
Наслідок. Якщо Х – локально-опуклий простір, то Х* відокремлює точки в Х.
Доведення. Якщо х1 є Х, х2 є Х і х1 ? х2, то застосувавши твердження 2) попередньої теореми до множин А = {x1} і В = {x2} отримаємо правильність висновку даного наслідку.
Теорема 4. Нехай М – підпростір локально-опуклого простору Х і х0 є Х. Якщо х0 не належить до замикання М, то існує такий функціонал q є Х*, що q (х0) = 1, але q (х) = 0 для всіх х є М.
Доведення. Застосувавши твердження 2) попередньої теореми до множин А = {x0} і В = ??? М, одержимо, що існує такий функціонал q є Х*, що q (х0) ў q (М). Звідси, q (М) є власним підпростором поля чисел, так що q (М) = {0} і q (х0) ? 0. Поділивши q на q (х0) одержимо шуканий функціонал.
Теорема 5. Якщо f – неперервний лінійний функціонал на підпросторі М локально опуклого простору Х, то існує такий функціонал q є Х*, що q = f на М.
Доведення. Не втрачаючи загальності, можемо вважати, що f не є тотожнім нулем на М. Покладемо М0 = {x є М : f (х) = 0} і виберемо таку точку х0 є М, що f (x0) = 1. Так як функціонал f неперервний, то х0 не належить М-замиканню підпростору М0. Оскільки топологія в М індукована топологією простору Х, а х0 є М, звідси випливає, що х0 не належить також до Х-замикання простору М0. Попередня теорема забезпечує існування такого функціоналу q є Х*, що q (х0) = 1 і q = 0 на М0. Якщо х є М, то х – f (x) x0 є М0, бо f (x0) = 1. Тому q (х) – f (x) = q (х) – f (x) q (x0) = q (x – f (x) x0) = 0. Таким чином, q = f на М.
Теорема 6. Нехай В – опукла зрівноважена замкнена множина в локально опуклому просторі Х і нехай х0 є Х, але х0 ў В. Тоді існує такий функціонал q є Х*, що ¦q (х)¦? 1 для всіх х є В, але q (х0) > 1.
Доведення. Застосуємо твердження 2) теореми 3 (цього розділу) до множин А = {х0} і В. Звернемо увагу на те, що якщо q? - функціонал, існування якого встановлено в згадуваній теоремі, то множина q? (В) опукла і зрівноважена. Тому шуканий функціонал q є Х* можна одержати в результаті добутку q? і відповідного числа.
3. Теорема Крейна-Мільмана.
Для того, щоб сформулювати і довести теорему Крейна-Мільмана розглянемо спочатку наступні означення і твердження.
Означення. Нехай ?1, ?2 – дві топології на множині Х. Припустимо, що ?1 ?2 (тобто якщо множина є відкритою відносно ?1, то вона є відкритою і відносно ?2). В такому випадку кажуть, що топологія ?1 слабша за топологію ?2, або що ?2 сильніша за ?1.
Теорема 7. Якщо F – сім’я відображень f : Х > Уf, де Х – множина, Уf – гаусдорфовий простір, і якщо F – відокремлює точки в Х, то F – топологія (топологія індукована сім’єю F) є гаусдорфовою.
Доведення. Якщо р, q – різні точки в Х, то f (p) ? f (q) для деякого f є F. В просторі Уf існують неперетинні околи точок f (p) і f (q). Прообрази цих околів при відображенні f відкриті в Х і не перетинаються.
Лема. Нехай f1, ... , fn – лінійні функціонали на векторному просторі Х і нехай N = {x : f1 (x) = … = fn (x) = 0}. Тоді наступні твердження еквівалентні:
існують такі числа б1, ... , бn , що f = б1 f1 + ... + бn fn ;
існує таке г < ?, що ¦f (x)¦? г max ¦fi (x)¦, 1 ? і ? n x є Х;
f (x) = 0 для всіх х є N.
Доведення.