Теорема 8. Нехай Х – векторний простір, а Х? - деякий відокремлюючий точки в Х векторний простір лінійних функціоналів на Х. Тоді топологія ?? (топологія простору Х?) перетворює Х в локально опуклий простір, спряжений до якого співпадає з Х.

Доведення. Оскільки R і С гаусдорфові, то за теоремою 7 (цього розділу) одержимо, що топологія ?? гаусдорфова. Із лінійності функціоналів, які входять до Х?, випливає, що топологія ?? інваріантна відносно зсувів. Нехай f1, ... , fn є Х? і рі > 0 (1 ? і ? n). Тоді множина V = {x : ¦fi (x)¦< pi при 1 ? і ? n} (*) опукла і зрівноважена, причому V є ??. В дійсності сукупність всіх множин V виду (*) є локальною базою топології ??. Таким чином, ?? - локально опукла топологія в Х. Якщо V задається формулою (*), то Ѕ V + Ѕ V = V, звідки випливає неперервність суми. Нехай х є Х, і нехай б – число. Тоді х є sV для деякого s > 0. Якщо ¦в - б¦< р і у – х є рV, то вектор ву – бх = (в – б) у – б (у – х) належить V, для досить малого р, і р (s + p) + ¦б¦p < 1. Тому множення на числа неперервне. Отже, ми показали, що ?? - локально опукла векторна топологія. Кожний функціонал f є Х? неперервний відносно ??. Навпаки, якщо деякий лінійний функціонал f на Х неперервний відносно топології ??, то ¦f (x)¦< 1 для всіх х із деякої множини V виду (*). Тому для функціоналів f справедливе твердження 2) попередньої леми. А, отже, для них істинне твердження 2) цієї леми, тобто f = б1f1 + … + бnfn. Так як fi є Х?, а Х? - векторний простір, то f є Х?.

Означення. Нехай Х – такий лінійний топологічний простір (з топологією ?), що його спряжений простір Х* відокремлює точки в Х. Топологія фщ простору Х* називається слабкою топологією простору Х.

Символом Хщ ми позначимо простір Х, що має слабку топологію фщ. Із теореми 8 (цього розділу) випливає, що Хщ є локально опуклим простором і що його спряжений простір співпадає з Х*.

З вище наведеного випливає, що фщ ф і є найслабшою із топологій в Х. В цьому випадку топологією ? називають початковою.

Теорема 9. Нехай Х – такий лінійний топологічний простір, що Х* відокремлює точки в Х, і нехай А і В – неперетинні непорожні компактні опуклі підмножини в Х. Тоді існує такий функціонал f є Х*, що виконується нерівність sup Re f (x) < inf Re f (y) (супремум береться по х є А, а інфімум по у є В).

Доведення. Нехай Хщ означає простір Х зі слабкою топологією. Очевидно, що множини А і В компактні в просторі Хщ. Вони також і замкнені в Хщ (оскільки простір Хщ гаусдорфів). Так як Хщ – локально опуклий, ми можемо на основі твердження 2) теореми 3 (цього розділу) стверджувати, що існує функціонал f є (Хщ)*, що задовольняє твердження 1). Але ми маємо, що (Хщ)* = Х*. Отже, f є Х* і задовольняє потрібну вимогу.

Означення. Нехай К – підмножина векторного простору Х. Непорожня множина S К називається крайньою множиною множини К, якщо ні одна точка із S не є внутрішньою точкою прямолінійного інтервалу, кінці якого належать до К, але не належать до S, тобто в аналітичній формі матимемо: якщо х є К, у є К, 0 < t < 1 і tx + (1 – t) y є S, то х є S і у є S.

Означення. Точка х0 є К називається крайньою точкою множини К, якщо одно точкова множина {x0} є крайньою множиною для К.

Означення. Опуклою оболонкою множини Е Х називається найменша опукла множина в Х, що містить Е.

Означення. Замкненою опуклою оболонкою множини Е, називається замикання її опуклої оболонки.

Теорема 10 (Крейна-Мільмана). Нехай Х – такий лінійний топологічний простір, що Х* відокремлює точки в Х. Тоді всяка компактна опукла підмножина К Х співпадає з замкненою опуклою оболонкою множини своїх крайніх точок.

Доведення. Нехай Р – сім’я всіх компактних крайніх підмножин множини К. Так як К є Р, то Р ? ?. Ми використаємо наступні дві властивості Р.

1). Якщо перетин S всіх множин із деякої не порожньої підсім’ї Р непорожній, то S є Р;

2). Якщо S є