1. Вступ

Теорія булевої алгебри бере свій початок від класичного писання Джорджа Буля. З досліджень законів мислення, на яких засновані математичні теорія логіки і теорія ймовірності”, виданого в 1954 році. Ціль і задачі книги автор сформулював так: „В запропонованому для розгляді трактаті ми намагаємося наслідувати фундаментальні закони тих операцій, які здійснює розум під час міркування, щоб висловити їх на символьній мові обчислення і на цій основі побудувати науку логіки і її метод”. Налідуючи такі постановки Джордж Буль здійснив на створеному алгебраїзацію такої логічної системи, яка лежить в основі класичних математичних міркувань. Таким чином виникла алгебраїчна решітка названа сьогодні алгеброю Буля або булевою алгеброю.

Булева алгебра має тісні зв’язки з багатьма важливими напрямками математичної науки. Загальнотеоретичне і прикладне значення булевої алгебри визначають тією існуючою роллю, яку вона відіграє в математичній логіці, теорії ймовірності і кібернетиці.

Прикладом булевої алгебри в алгебрі множин служить сокупність всіх підмножин деякої фіксованої непорожної множини Х, яку позначають символом Р(Х). Під булевими операціями розуміють операції об’єднання А?В, перетин А?С і доповнення Х\А. Нулем в Р(х) є порожня множина, яку позначаємо а, одиницею Х.

Розглянемо теорію ймовірності.

Фундаментальним поняттям теорії ймовірності виявляються подіїі ймовірності. Під подіями розуміємо елемент А множини Х. Сокупністю всіх подій є поле множин, тобто елементи булевої алгебри Р(Х), при чому ці елементи самі виявляються булевою алгеброю. Зауважимо, що якщо А і С – подія, то А?С, А?С і Х\А теж виявляються подіями. Кожній події А приписується деяке число Р(А), назване ймовірністю події А. Виконуються такі властивості:

1) 0 Р(А) 1, Р() = 0, Р(Х) = 1;

2) Якщо А?С = , то Р(А?С) = Р(А) + Р(С).

Розглянемо алгебру висловлень.

Під висловленнями розуміють оповідаючу пропозицію, для якої в даний момент однозначно вирішуються питання про його істинність чи хибність. В алгебрі висловлень існують знаки: v, , , , названі пропозиціональними зв’язками.

Кон’юкцією - висловлень А і В називаємо висловлення А^В, буде істинним тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення істинні.

Диз’юмкцією – висловлень А і В називаються висловлення АvВ , в якій буде істина тоді і лише тоді, коли істинне хоча б одне із висловлень.

Імплікацією - висловлень А і В називається таке висловлення АВ, яке буде хибне тоді і лише тоді коли А істинне В – хибне.

Заперечення висловлення А називається складне висловлення А, яке буде істинне тоді і лише тоді, коли А – хибне і хибним тоді, коли а – істинне.

Формули А і В називаються еквівалентними, якщо дві імплікації АВ і ВА тотожньо істинні. Множина всіх формул обчислення висловлень є булевою алгеброю, якщо ототожнити еквівалентні формули. Булеве доповнення при цьому визначається запереченням . Роль одиниці відіграють тотожньо – істинним висловленням.

Розглянемо алгебру електричних ланцюгів розірваних біля контактних включателів. Контакт може знаходитися в двох станах: замкненому і розімкненому. Для ланцюга теж можливі два стани: пропускає ток або не пропускає ток. Два ланцюги ототожнюються, якщо в них контакти можна поставити у взаємо однозначну відповідність так, що при одному і тому стані відповідні контакти самі ланцюги перебувають в однаковому стані.

Позначимо через 1 ланцюг, який завжди пропускає ток, а через 0 - ланцюг який не пропускає ток. Введемо операції над ланцюгами. Під сумою СvД двох ланцюгів розуміють ланцюг, який ми отримаємо в результаті паралельного зєднання С і Д. В результаті ми отримаємо таке з’єднання, при якому СvД пропускає ток в тому і тільки тому випадку, коли його пропускає хоча б один з ланцюгів. Добутком Д^Д ланцюгів С і Д називають ланцюг, який отримуємо в результаті їх послідовного з’єднання . Це означає, що С^Д пропускає ток лише тоді, коли пропускають ток ланцюги С і Д. Для ланцюга С символом С* означає такий ланцюг, який пропускає ток лише в тому випадку, коли С не пропускає ток.

Електричні ланцюги при введенні операцій і ототожнення створюють булеву алгебру.

2. Поняття і означення

Означення. Множина Х називається впорядкованою, якщо для деяких пар її елементів х і у визначено відношення порядку так, що виконються властивості:

х х (рефлексивність);

якщо х у і у z, то х z (транзитивність);

якщо х у і у х, то х = z (антисиметричність), для довільних елементів х, у, z із Х.

Нехай А буде частиною Х. Елемент х називають обмеженим знизу для множини А, якщо х у, обмеження зверху, якщо х у для всіх у з А. Елемент аА називається найбільшим елементом множини А, якщо аА і ха, якщо х а для всіх х з А, то а називається найменшим елементом множини А.

Якщо в множині яка обмежена знизу існує найбільший елемент, то його називають інфімумом позначають inf(A).

Найменший елемент множин обмежених зверху називають супремумом позначають sup(A).

Означення. Впорядкована множина Х називаєтиься решіткою, якщо довільна пара елементів х і у з Х має як інфімум так і супремум. Позначають так: х v у = sup{х,у} і х ^ у = inf{х, у}.

Означення. Решітка Х називається дистрибутивною, якщо (хvу) ^ z = =(х ^ z) v (у ^ z), для довільних х, у, z.

Розглянемо в решітці Х найбільші і найменші елементи. Найбільшим елементом назвемо 1, а найменшим 0. Якщо для кожного елемента х