Означення. Булевою алгеброю називається дистрибутивна решітка з одиницею і нулем, в якій для кожного елемента існує доповнення.

Означення. Булева алгебра називається повною, якщо кожна множина яка їй належить має супремум та інфімум.

Теорема 1.1. Будь-яка не порожня сокупність підмножин деякої множини , яка володіє двома властивостями

а) якщо А, В є , то А?В є .;

б) якщо А є , то А' = \А є , впорядкована за включенням булева алгебра.

Доведення

З умови а) і б) випливає, що сукупність замкнена відносно будь-яких об’єднань і перетинів, тому – дистрибутивна решітка.

Крім того з рівності А?А' = і А?А' = випливає, що , є , - одиниця, а поржня множина це „0” з решітки . Отже множина А' є доповненням до А.

Означення. Два елементи х і у булевої алгебри називаються диз’юнкними (позначаються х d у) якщо х ^ у = 0

Теорема 1.2. Якщо Х – булева алгебра, то:

а) доповнення х' для будь-якого х є Х єдине;

б) х' – найбільший елемент, дизюнкний з х;

в) х у несе за собою те, що х' у';

г) (х v у)' = х' ^ у',

д) якщо для деякої множини елементів х є Х( є і) існує х = sup х то х'= inf х.

Доведення

а) нехай елемент у є Х володіє такими властивостями, що й х': х v у =1, х ^ у =0. За допомогою диструбутивного закону отримуємо: х'=х' ^^=x` ^ (хvу) = (х` ^ x) v (x`^y) = x`^y, звідси x` y, x`=1^x`(x v y) ^ x` = (x ^ x`) v y ^ x`= = y ^ x` звідси x` y, тому у = x`.

б) нехай ух. Покладено z = y v x`. Тоді за асоціативністю, z v x =y v x` v x= = y v 1 = 1, а за дистрибутивністю, z ^ x = (y v x`) ^ x = (y ^ x) v (x` ^ x) = 0. Слідуючі з того що z = x`, звідси y x`.

в) з х у, випливає, що y` ^ x y` ^ y = 0. Оскільки 0 – найменший елемент решітки, то y` ^ x = 0. Тоді за умовою б) y` x`

г) покладемо z = x v y, u = x` ^ y`. Тоді udx i udy і за дистрибутивністю, u ^ z = u ^(x v y) = (u ^x) v (u ^ y) = 0.

Отже з б) випливає u z`. З другого боку, з в) випливає z` x`, z` y` звідси z` u. Цим самим самим встановимо рівність z` = u

д) при кожному є і одержимо з в) x` x`. З одного боку, якщо y x` при всіх є і, то y` x, тому y` x. Отже y x`, що й доводить рівність x`=infx`.

Теорема 1.3. Для кожної булевої алгебри х виконується нескінченні дистрибутивні закони:

1

2

Доведення

Перевіримо 1. Нехай y = sup y існує. Покладемо z = x ^ y . Тоді x ^ y z при всіх i. Оберемо довільний u X такий що x ^ y u при довільному i. Тоді для кожного i u v x` (x ^ у) v x` = (x v x`) ^ (y v x`) = y v x` y.

Отримаємо u v x` y. З допомогою цієї нерівності маємо u = u v 0 = u V(ху) (x ^ x`) ^ (u v x`) x ^ y = z

Таким чином z = sup (x ^ y) і 1 доведена.

Булева алгебра Х називається повною ( повною), якщо X – повна (– повна ) решітка. Хоча за теоремою:

Якщо в решітці Х кожна обмежена зверху не порожня підмножина має верхню грань, то ця решітка умовно повна, для – повних решіток не має місця, але для булевої алгебри Х можна вважати, що існування верхньої грані для довільної скінченої множини елементів з Х випливає – повнота Х. Дійсно, існування нижніх граней випливає з теореми 1.2 д):

infxn = (supx`n`).

3 Представлення булевої алгебри в вигляді кільця

відкрито - замкнених множин

В даному параграфі ми розглянемо один з результатів теорії булевої алгебри – теорему американського математика М. Стоуна про представлення довільною булевої алгебри у вигляді кільця відкрито-замкнених множин деякого бікомпакта.

Означення. Сукупність підмножин деякої множин називається кільцем, якщо вона замкнена відносно операцій додавання скінченого числа множин і віднімання.

Теореми даного вигляду дають змогу представляти абстрактну науку у вигляді сукупності інших об’єктів, більш конкретних і корисних в питаннях математики.

Означення. Множина в топологічному просторі називається відкрито-замкненою, якщо вона одночасно є відкритою і замкненою. Доповнення до відкрито-замкненої множини теж відкрито-замкнене. Бікомпакт називається цілком незв’язним, якщо відкрито-замкнені множини утворюють його базу.

Нехай Х булева алгебра, 1 і 0 – її найбільші і найменші елементи відповідно.

Сокупність С елементів з Х назвемо центральною системою, якщо х1 ^ х2^ ...^хn 0, для довільного скінченного числа елементів х1, х2...хn С. Центральну систему С називаємо максимальною, якщо вона не міститься в жодній іншій центральній системі, відмінній від С. Із визначення центральної системи випливає, що якщо x, y