Дійсно якщо U – оператор побудований за формулою то покладено +() = U+, -() = U- для є б. Тоді () = +( - -(), а +() = (), де ()=

З іншого боку, якщо 0 х то х представимо у вигляді х =, де j є б, j - попарно дез’юктні, j j 0 1 2 ... n перетворивши х за формулою 2 отримаємо Uх = n () (). Таким чином +() = (), +()= = звідси випливає, що +() – найменша додатня адитивна функція, мажорантна, функції (), аналогічно -()= , найменша додатня функція, мажорантна, функції - (.

Означення Функція () називається (0) – неперервною, якщо з випливає, що . Для (0) неперервності адитивної функції достатньо щоб вона була (0) неперервна при = 0. Дійсно, із (0) неперервності при = 0 випливає (0) – неперервність в довільній точці за монотонною послідовністю.

Якщо () додатня адитивна функція, то для встановлення її (0) – неперервності достатньо перевірити, що п 0 випливає 1(п) 0.

Означення функція () називається цілком неперервною, якщо вона

перервана за направленням із z(0) випливає, що

якщо () – обмежена адитивна зовсім неперервна, то її операції зовсім неперервні.

6 Булева міра на прямі

В даному параграфі побудуємо на прямій абстрактну міру з значеннями в булеві алгебрі. Вперше це було зроблено в В.У. Соболєвим.

Нехай – повна булава алгебра. Сім’ю елементів є б (-<<+) називаємо розкладом одиниці, якщо:

а) при I;

б) , ;

в)

Лема. Для кожного х є Х характеристика володіє властивостями

а) при > ;

б) ;

в)

г) характеристика неперервна зліва тоді для кожного ;

д) якщо 1 2 1 2, то

Якщо Х – К – простір з одиницею а – його база, то за даною Лемою характеристика довільного елемента х є Х володіє всіма властивостями а) - в). Таким чином при зростанні від - до + зростає від 0 до 1.

Означення

Для кожного х є Х і кожного числа , покладемо , де є слід додатної частини елемента 1- x .

При фіксованому х є Х система елементів {} , де - приймає всі значення від – до + , називається характеристикою елемента х.

Нехай R=[– ; +] - числова пряма, + = 1, - = 0.

проміжки = [0,1] де – 0< 1 +, будемо називати основним

Для кожного такого проміжка визначимо міру = ^ 0`, де =0, де – порожня множина. З означення міри бачимо, щоR = 1 і для довільного =[0,1] 1 і ^ 0-=1. Звідси випливає, що якщо перетин двох основних проміжків 1 і 2 порожній, то 1 ^ 2 = 0. В загальному випадку, перетин довільних двох основних проміжків 1 і 2 – теж основний проміжок і (1 ? 2) = 1 ^ 2.

Якщо не порожній основний проміжок представити у вигляді суми скінченого числа попарно неперетинних основних проміжків 1,..., n , то =supi 1`. Дану формулу достатньо довести для n=2 .

Доведення для довільного n очевидно за гидукцією.

Нехай 1= [0,1], 2 = [1,2] i = [0,2]. Використовуючи дистрибутивність булевої алгебри, отримаємо 1 ^2=(1 ^ 0`)v(1 ^ 1`)= =[(1 ^ 0`) v 2]^[ (1 ^ 0`) v 1] = 2^ (1 v 1`) ^ 0`= 2 ^ 0`=

Властивість міри поширюється і на випадок додатної скінченої множини основних проміжків. Нехай = , n - основні попарно неперетинні проміжки. Якщо =[,], то є при деякому n0 і повинні бути лівим кінцем n0.

Позначимо L множину всі таким, що

1) <

2) [,] є сумою деякої підмножини проміжків n ;

3) [,] =

Покладемо j = supL, доведем що j є L. Припустимо, що j є L, то < при всіх є L. Серед проміжків n, які знаходяться лівіше , знайдеться такий правий кінець який, як завгодно близький до , але з ним не співпадає. Тому немає жодного n, у якого правий кінець співпадає з . Тоді

[,] = . Використовуючи неперервність зліва і монотонність } і формулу .

Отже j володіє властивостями 1) – 3), тому .

Доведемо, що. Припустимо, що , тоді j буде лівим кінцем деякого, ), де . При цьому . Виконання для умов 1), 2) очевидна, умову 3) перевіримо:

Включення суперечить означенню . Тоді , отже виконується для всіх таким чином довели формулу ; для скінченої множини елементів.

Будемо вважати множину представлену у вигляді суми скінченої або зчисленної множини основних проміжків – основною. Довільну основну множину можна представити у вигляді суми скінченої або зчисленної множини попарно неперетинних основних проміжків.

Якщо , - основні проміжки, , при . Визначимо міру . Визначення міри не залежить від способу представлення множини Г у вигляді суми неперетинних основних проміжків.

Дійсно, якщо , то введемо проміжки . Тоді , тоді . За доведенням формули , звідси . Аналогічно , тому .

З диз’юкності мір двох неперервних основних проміжків випливає, що і міри двох неперетинних основних множин Г1 і Г2 теж диз’юктні. Якщо Г1 с Г2, то .

Дійсно, нехай Г1=, Г2= і в кожному з цих представлень проміжки попарно не перетинаються. Покладемо .

Тоді , а Г1=, при чому кожної . Звідси