Доведемо що якщо А=, то при наявності додатної множини цілком неперервних адитивних функцій,

Фіксуємо додатню, цілком неперервну, адитивну функцію () і задамо число > 0. При довільному n існує, основна множина Гn Аn для якої .

Покладемо Г, а . Оскільки міра основних множин скінченно адитивна, то , пізніше . З іншого боку, завдяки скінченній адитивній мірі, .

Оскільки , то за адитивністю (), , а тоді з , випливає, що . З адитивності і монотонності функції () випливає, що для довільних 1, 2, є . Тоді для довільної скінченої кількість елементів .

Тому з і , випливає, що . Звідси завдяки , отримуємо , тоді ,

Внаслідок монотонності зовнішньої міри . Якщо припустити, що в даному випадку має місце строга нерівність, то згідно зазначеному вище зауважено, для деякої додатньої, цілком неперервної адитивної функції () , що суперечить нерівності , установлені для довільної додатньої, цілком неперервної, адитивної функції (). Цим ми довели рівність .

З даної формули , за монотонністю внутрішньої міри . Тоді разом з формулою отримаємо вимірність А і .

За допомогою доведено її скінченна адитивність.

Якщо міра скінченно адитивна то умова:

в) якщо і всі Аn вимірні, то і А вимірна і при цьому . Узагальнюється для неї на випадок скінченої сукупності множин Аn.

З означення булевої міри і її основних властивостей, випливає, що сукупність М її значень виявляється під алгеброю алгебри , тоді М – під структура алгебри , включаючи 0 і 1 і разом з довільним М містить і `.

Лема. Сукупність М значень скінченно адитивної булевої міри М - замкнута відносно операцій решітки, тоді якщо , а і , то М.

Доведення

Включення означає, що існує вимірна Аn, для якої . Тоді завдяки скінченій адитивності міри, множина і вимірні і , .