Тема. Дослідження знакозмінних рядів

1. Означення ряду і його суми. Нехай задано числову послідовність . Тоді послідовність

(1)

називається числовим рядом; його позначають:

(2)

Числа називаються членами ряду (2), відповідно першим, другим і т.д.; ап називається п-м або загальним членом ряду (2).

Суми S1=a1, S2=a1+a2, …, Sn=a1+ … + an, …називаються частинними сумами ряду (2).

Ряд

(3)

називається п-м залишком ряду (2). Зазначимо, що першим членом ряду (3) є (п + 1)-й член вихідного ряду (2) і k-й член ряду (3) дорівнює an+k.

За означенням ряди – це особливий вид послідовностей, тому омжна говорити про збіжність і розбіжність рядів.

Ряд називається збіжним, якщо послідовність його частинних сум збігається. Якщо послідовність частинних сум ряду розбігається, то він називається розбіжним. Отже, ряд (2) називається збіжним, якщо існує границя

Ця границя називається сумою ряду (2).

Якщо ряд (2) збігається і S – його сума, то писатимемо:

.

Приклад 1. Розглянемо ряд і покажемо, що він збігається, якщо , і розбігається, якщо .

Цей ряд розглянуто при вивченні суми геометричної прогресі. Нагадаємо, що

для всіх .

Якщо , то , і тому

Отже, якщо , то цей ряд збігається і

.

Якщо , то , тому послідовність необмежена і, отже, вона не має границі. Звідси випливає, що послідовність (Sn) також не має границі, тобто цей ряд розбігається, якщо .

Нехай . Якщо q=1, то

S1 = 1, S2 = 2, …, Sn=n, …

і, як легко побачити, цей ряд розбігається.

Якщо q = – 1, то

S1= –1, S2= –1 + 1 = 0, Sn = – 1, …,

Тобто частинні суми з непарними номерами дорівнюють –1, а з парними номерами дорівнюють 0. така послідовність не має границі. Отже, якщо , то цей ряд розбігається.

Теорема 2. Якщо ряди із загальними членами ап і bn збігаються і

то для будь-яких чисел і ряд із загальним членом збігається і

Справді,

а це означає, що ряд із загальним членом збігається і його сума дорівнює

Приклад 2. Розглянемо ряд:

загальний член цього ряду має вигляд:

Як показано в прикладі 1, ряди загальними членами збігаються і

За теоремою (2) цей ряд збігається і

Приклад 3. Розглянемо ряд

Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності.

Справді,

і, отже

Отже, даний ряд розбігається.

2. Ряди з невід’ємними членами. Насамперед зазначимо, що послідовність частинних сум будь-якого ряду з невід’ємними членами – неспадна. Справді, нехай дано ряд з невід’ємними членами: Тоді

для всіх п.

Теорема 1. Якщо послідовність частинних сум ряду з невід’ємними членами обмежена, то ряд збігається. Якщо послідовність частинних сум ряду з невід’ємними членами необмежена, то ряд розбігається до .

Приклад 1. Розглянемо ряд

(1)

Покажемо, що коли ряд (1) збігається.

Для будь-якого маємо:

і тому, за теоремою 1, при ряд (1) збігається.

У попередньому пункті було вже показано, що при ряд (1) розбігається. Покажемо, що він розбігається при будь-якому . Маємо

і тому, .

Отже, ряд (1) при збігається, а при розбігається до .

Теорема 2 (ознака конгруентності). Нехай для рядів виконується умова: є N таке, що для всіх

Тоді, якщо ряд збігається, то й ряд збігається. Якщо ряд розбігається, то й ряд розбігається.

Приклад 3. Ряд розбігається, бо

для всіх

і ряд розбігається.

Лема.Нехай дано ряд з додатними членами. Тоді, якщо є таке q, що

для всіх п, (2)

то ряд збігається. Якщо

для всіх п, (3)

то ряд розбігається.

Доведення. Якщо виконується умова (2), то

Отже,

для всіх п.

А оскільки ряд , в якого 0 < q < 1, збігається, то за ознакою конгруентності цей ряд також збігається. Першу частину леми доведено.

Якщо виконується умова (3), то

тобто для всіх п. Звідси випливає, що для ряду не виконується необхідна умова збіжності і, отже, ряд розбігається.

Теорема 3 (ознака д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами ап виконується умова

Тоді, якщо q < 1, то ряд збігається, а якщо q > 1, то ряд розбігається.

Приклад 4. Розглянемо ряд

Тут , і тому

За ознакою д’Аламбера цей ряд збігається.

Приклад 5. Розглянемо ряд

Тут . Отже,

За ознакою д’Аламбера цей ряд збігається.

3. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Важливий клас збіжних рядів утворюють так звані абсолютно збіжні ряди. Перш ніж давати відповідне означення, доведемо таку теорему.

Теорема 1. Якщо ряд збігається, то й ряд збігається.

Означення 1. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд ю

Теорема 1 стверджує, що коли ряд абсолютно збігається, то він і просто збігається.

Щоб дослідити ряди на абсолютну збіжність, можна скористатися всіма ознаками збіжності для рядів з невід’ємними членами.

Теорема 2. Нехай для ряду виконується умова

Тоді, якщо q < 1, то ряд збігається абсолютно, а якщо q > 1, то ряд розбігається.

Приклад 1. Розглянемо ряд де .

Цей ряд збігається і, більш того, збігається абсолютно.

Справді, тут

і ряд , де , збігається. Отже, цей ряд збігається абсолютно і, зокрема, він збігається.

Теорема 3 (ознака Лейбніца). Якщо послідовність (ап) з додатних чисел монотонно спадає і , то ряд збігається.

Означення 2. Ряд називається умовно збіжним, якщо він збіжний, але не абсолютно збіжний.

Наприклад, обидва ряди

збігаються. Однак, якщо перший ряд абсолютно збіжний, то другий ряд не є абсолютно збіжним і, отже, умовно збіжний.

Абсолютно збіжні ряди мають багато властивостей звичайних скінченних сум. Зокрема, для них має місце властивість, аналогічна властивості комутативності: сума абсолютно збіжного ряду не змінюється при будь-якій перестановці членів ряду.

Абсолютно збіжні ряди можна перемножити почленно. Точніше це твердження формулюють так: якщо ряди абсолютно збігаються і то ряд, членами якого є всілякі добутки вид akbn, абсолютно збігається і його