Умовно збіжні ряди за своїми властивостями істотно відрізняються від звичайних скінчених сум. Наприклад, для них справедливе таке твердження: умовно збіжному ряді можна так переставити члени, що новий ряд збігатиметься до будь-якого наперед заданого числа. Більше того, можна так переставити члени умовно збіжного ряду, що новий ряд розбігатиметься.

4. Послідовності і ряди з комплексними членами. Нехай задано послідовність комплексних чисел

z1, z2, …, zn, … (1)

Як і для дійсних чисел, цю послідовність позначатимемо (zn).

Означення 1. Комплексне число z називається границею послідовності (zn), якщо

де - модуль комплексного числа zn – z.

Послідовність, яка має границю, називається збіжною.

Якщо число z є границею послідовності (zn), то пишуть

або при

і кажуть, що послідовність (zn) зібгається до z.

Теорема 1. Послідовність комплексних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються послідовності їх дійсних і уясних частин, причому

Висновок 1. Збіжна послідовність має єдину границю.

Висновок 2. Якщо послідовності (zn) і збігаються, то границя суми дорівнює сумі границь:

границя різниці дорівнює різниці границь:

і границя добутку дорівнює добутку границь:

Якщо, крім того, і , границя частки дорівнює частці границь:

.

Як і в п.1, визначаються ряди з комплексними членами . Для них справедливі всі означення і теореми з п.1. Зокрема, для рядів з комплексними членами справедлива така необхідна умова збіжності:

Якщо ряд , то

Приклад 1. Розглянемо ряд , де z – деяке комплексне число.

Якщо , то для даного ряду не виконується необхідна умова збіжності:

для всіх п

і, отже, ряд розбігається.

Якщо ж, то ряд збігається. Справді, для п-ї частинної суми справедлива формула

і тому

Оскільки при , то і тому

Отже, , то ряд розбігається.

Теорема 2. Нехай дано ряд з комплексними членами. Тоді, якщо ряд з модулівзбігається, то й ряд збігається.

Приклад 2. Розглянемо ряд , де z – деяке комплексне число.

Тут

Доведемо, що ряд з дійсними членами збігається при будь-якому z.

Якщо z = 0, то un = 0, а ряд з нулів збігається. Якщо то і до ряду можна застосувати ознаку д’Аламбера. Маємо

для будь-якого комплексного , і тому ряд збігається.

Отже, ряд збігається абсолютно при будь-якому комплексному z.