Математичне моделювання

Особливості економетричних моделей, їхня статистична база

Математичне моделювання є вираженням процесу математизації наукового економічного знання. Математика, проникаючи в сут-ність економічної науки, приносить із собою точність та універсаль-ність розв'язків, строгість і довершеність наукових концепцій. З розвитком математики, електронної обчислювальної техніки, загальнометодологічних та економічної наук дедалі ширше викорис-товують математичні моделі.

Математична модель об'єкта (процесу, явища) містить у собі три групи елементів: 1) характеристику об'єкта, який потрібно визначити (невідомі величини), 2) характеристики зовнішніх (щодо модельованого об'єкта) умов, які змінюються, 3) сукупність внутрішніх параметрів об'єкта.

Множини умов та параметрів X і А можуть розглядатись як екзо-генні величини (тобто такі, які визначаються поза рамками моделі), а величини, що належать вектору У, — як ендогенні (тобто такі, які визначаються за допомогою моделі).

Залежно від способу вираження співвідношень між зовнішніми умовами, внутрішніми параметрами та характеристиками, які мають бути знайдені, математичні моделі поділяються на дві групи: струк-турні та функціональні.

Структурні моделі відбивають внутрішню організацію об'єкта: його складові частини, внутрішні параметри, їх зв'язок з «входом» і «виходом» і т. ін. Розрізняють три види структурних моделей.

У моделях першого виду всі невідомі величини подаються у вигляді явних функцій від зовнішніх умов і внутрішніх параметрів об'єкта.

У моделях другого виду невідомі визначаються одночасно із сис-теми рівнянь, нерівностей і т. ін.

В імітаційних моделях невідомі величини визначаються також одночасно із вхідними параметрами, але конкретний вигляд співвід-ношень невідомий.

Моделі першого і другого типу можна розв'язати з допомогою чисель-них алгоритмів. Можливості побудови таких моделей дуже об-межені. Для розв'язування другої моделі, яка не зводиться до задачі першої, необхідно мати спеціальний алгоритм, за яким не тільки зна-ходять розв'язки, а й виявляють загальні властивості розв'язків, які не залежать від конкретних параметрів задачі.

Імітаційні моделі не зводяться до чітко визначених математич-них задач, а тому потрібно знаходити особливі способи для одер-жання розв'язків. Такі моделі виникають при спробах дати матема-тичний опис особливо складних об'єктів (складних систем). Для дослідження цих об'єктів (систем) використовуються порівняно нові математичні методи: теорія випадкових процесів, теорія ігор та ста-тистичних рішень, теорія автоматів і т. ін. Активну роль у процесі такого моделювання відіграють ЕОМ.

Імітаційні моделі не мають чіткого зображення внутрішньої ор-ганізації (структури) об'єкта, і тому їм належить проміжне місце між структурними та функціональними моделями.

Основна ідея функціональних моделей — пізнання сутності об'єкта через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функ-ціонування, поведінку. Внутрішня структура об'єкта при цьому не вивчається, а тому інформація про структуру не використовується. Функціональна модель описує поводження об'єкта так, що задаючи значення «входу» X, можна дістати значення «виходу» У (без участі інформації про параметри):

У = А(Х).

Побудувати функціональну модель — означає знайти оператор А, який пов'язує X і У.

Відмінності між структурними та функціональними моделями мають відносний характер. Вивчення структурних моделей дає одночасно цінну інформацію про поводження об'єкта. З іншого боку, при вивченні функціональних моделей необхідно сформулювати гі-потези »про внутрішню структуру об'єкта.

Економетричні моделі належать до функціональних моделей. Вони кількісно описують зв'язок між вхідними показниками еконо-мічної системи (X) та результативним показйиком (У). У загальному вигляді економетричну модель можна записати так:

Y = f(X, U)

де X — вхідні економічні показники; и — випадкова або стохастична складова.

Показники X найчастіше бувають детермінованими. Адитивна складова и є випадковою змінною, а отже, з огляду на те, що залеж-на змінна У залежить від u, вона також є стохастичною. Звідси впливає висновок: екопометрична модель є стохастичною.

Побудова і дослідження економетричних моделей мають ряд особливостей. Ці особливості пов'язані з тим, що економетричні моделі є стохастичними. Вони кількісно описують кореляційно-регресійний зв'язок між економічними величинами. Отже, щоб побуду-вати економетричну модель, необхідно:

1) мати достатньо велику сукупність спостережень даних;

2) забезпечити однорідність сукупності спостережень;

3) забезпечити точність вхідних даних.

Багатофакторна економетрична модель. Застосування методу 1 МНК для оцінки вектора параметрів альфа.

Економетрична модель – функція або система функцій, що описує кореляційно-регресійний зв’язок між економічними показниками один чи декілька з яких є залежними змінними, а решта незалежними змінними, включаючи стохастичну залежність.

Матричний вигляд економетричної моделі

У=ХА+Е

У – вектор залежної змінної

Х – вектор незалежної змінної

А – вектор оцінки параметрів

Е – стохастична складова. Яка акумулює діє усіх факторів, які не ввійшти в модель.

Матричний запис системи нормальних рівнянь

Х*?ХА=Х*У

Оцінка параметрів

А=(Х*Х)^(-1)Х*У

Оцінки параметрів мають такі властивості:

незміщенність

обгрунтованність

ефективність

Оцінки залежать від вибірки. Чим вона більша, тим точніші наші оцінки. Не зміщення вибіркова оцінка – це вибіркова величина.

Чим більша вибірка, тим краще ми пояснюємо вибіркову оцінку.

3. Поняття часового лагу. Моделі з лагами

Для багатьох економічних процесів є типовим той факт, що ефект від впливу одного показника на інший виявляється не відразу, а поступово, через деякий період часу. Це явище називається лагом (запізненням). Кількісний вираз взаємозв'язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між затратами виробни-чих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами і то-що має базуватись на врахуванні запізнення впливу, або лагу.

Вимірювання зв'язку між економічними показниками з вра-хуванням лагу виконується на основі побудови економетричної моделі розподіленого лагу:

Коефіцієнти а], і = 0,1,2, 3..., називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність а = { а]у і = 0,1,2, 3...} — структурою лагу.

Якщо економетрична модель включає не тільки лагові змінні, а й змінні, що характеризують поточні умови функціонування еконо-мічних систем, то така модель називається узагальненою моделлю розподіленого лагу і записується у вигляді

Оскільки параметри ах стосуються однієї і тієї самої лагової змінної, що впливає на залежну змінну