„Неявні функції. Аналітичні криві та поверхні”

Зміст.

Вступ.

Нехай у деякій області площини задана функція , і нехай лінія рівня цієї функції , обумовлена рівнянням , є графіком деякої функції  , обумовленої рівнянням  . У цьому випадку говорять, що функція   задана неявно рівнянням . Для існування неявної функції потрібне виконання наступних умов: функція  і її частинна похідна по  безперервні в   , . Тоді в деякій околиці крапки існує єдина безперервна функція    , що задається рівнянням  , так, що в цій околиці  .

1. Поняття неявної функції.

Функція в = f (x) називається неявної, якщо вона задана за допомогою недозволеного (відносно у) рівняння F (x, y) = 0; вона стає явної, якщо розглядається безпосередня залежність у від х. Протиставлення неявного і явного завдання функції з повною чіткістю можливо лише, якщо під явним завданням розуміти явне аналітичне завдання. Якщо ж під явним розуміти завдання за допомогою будь-якого правила, то завдання функції у від х за допомогою рівняння F (x, y) = 0 нічим не гірше всякого іншого.

Якщо рівняння F (x, y) = 0 алгебраїчне, тобто ця функція є цілим багаточленом відносно х и у, те і неявна функція називається алгебраїчної. Якщо ступінь рівняння (відносно у) не вище 4, то алгебраїчна функція допускає явне вираження в радикалах.

Розглянемо геометричне трактування неявних функцій. За певних умов рівняння F (x, y) = 0 виражає криву на площині (наприклад, рівняння виражає еліпс), у цьому випадку воно називається неявним рівнянням кривої.

Головне питання полягає в тім, чи може крива F (x, y) = 0 (або її частина) бути виражена звичайним рівнянням виду в = f (x)? Геометрично це значить, що крива (або її частина перетинається прямій, рівнобіжній осі в, лише в одній крапці.

При вивченні однозначної функції потрібно обмежити не тільки область зміни х, але й область зміни в.

У прямокутнику (а, b, c, d) рівняння F (x, y) = 0 визначає в як однозначну функцію від х, якщо при кожнім значенні х у проміжку (а, в) рівняння F (x, y) = 0 має один, і тільки один, корінь в у проміжку (c, d).

2. Існування неявної функції. Основні теореми.

Необхідно установити умови, що забезпечують існування однозначної і безперервної неявної функції. Розглянемо основні теореми неявних функцій.

Теорема 1. Припустимо, що

с центром у крапці (х0, у0);

2) F(x, y) у цій крапці звертається в нуль: F(х0, уа) = 0;

3) при постійному х функція F(x, у) монотонно зростає (або монотонно убуває) зі зростанням у.

Тоді

а) у деякій околиці крапки (х0, у0) рівняння визначає в як однозначну функцію від х: у=/(х);

б) при х — х0 ця функція приймає значення в0: f (х0) = уа; нарешті,

в) функція /(х) безперервна.

Теорема 2. Припустимо, що

1) функція F(x,y) визначена і безперервна в прямокутнику з центром у крапці (хо,уо);

2) частки похідні F'x і F'y існують і безперервні в Д;

3) F(x,y) у крапці (х0, у0) звертається в нуль: F(xa,ya) = 0;

4) похідна F'y (xo, уo) відмінна від нуля.

Тоді виконуються висновки а), б), в) теореми 1 і, крім того, г) функція f(x) має безперервну похідну.

По властивостях функції F(x,y), що дана безпосередньо, можна судити про властивості функції в =f(х), для якої безпосередніх даних немає.

Виходячи з приклада функції F (x, y) = 0 можна розглядати і рівняння з різним числом перемінних.

F (х1, х2 ,…... хп, y) = 0

При відомих умовах цим рівнянням у визначається як „неявная" функція від п перемінних х1, х2 ,…... хп яка, буде багатозначною.

Можна сказати, що в (п+1)-мірному паралелепіпеді

(а1 Ь1, а2, b2; ... ; аn Ьп, з, d)

рівняння визначає в як однозначну функцію від х1, x2, … x3 якщо для будь-якої крапки (х1, x2, … x3 ) що міститься в п-мерном паралелепіпеді

(а1 Ь1, а2, b2; ... ; аn Ьп, з, d)

рівняння F (x, y) = 0 має один, і тільки один, корінь в у проміжку (з, d).

Теорема 3. Припустимо, що

1) функція F(x1 ... , хn, у) визначена і безперервна в (п +1)-мірному паралелепіпеді з центром у крапці (х10, ... , хn0, у0);

2) частки похідні F'X1, ... , F'Xn, F'y існують і безперервні в Д;

3) функція F у крапці (х10, ... , хn0, у0) звертається в нуль; і, нарешті,

4) похідна F'y в цій крапці не дорівнює нулеві.

Тоді

а) у деякій околиці крапки (х10, ... , хn0, у0) рівняння F (х1, х2,…... хп, y) = 0 визначає в як однозначну функцію від хь ... , хп: у = f (x1 … xn)

б) при хх = х1°, ... , хn =х°п ця функція приймає значення в0: f(x10, ..., хn0)=у0;

в) функція f(xlt ... , хп) безперервна по сукупності своїх аргументів і

г) має безперервні ж частки похідні f'X1, ... , fXn.

Теорема 4. Припустимо, що

1) усі функції F1 ... , Fm визначені і безперервні в (п + т)-мірному прямокутному паралелепіпеді з центром у крапці (х01 …x0n, y01…...y0n);

2)існують і безперервні в Д частки, похідні від цих функцій по всіх аргументах;

3) крапка (х01, ... , у°т) задовольняє