4) якобиан J у цій крапці відмінний від нуля.

Тоді

а) у деякій околиці крапки (х01, ... , у°т); система з m рівнянь визначає y1...ут як однозначні функції від x1 ... , хп:

б) при x1 = х10, …, xn = xn0 ці функції приймають, відповідно, Значення в10, . . . ,ym0

в) функції f1, ..., fm безперервні, і

г) мають безперервні ж частки похідні по всіх аргументах.

3. Аналітичні криві на площині.

Аналітичні криві необхідно почати з розгляду плоских кривих. Для основи візьмемо прямокутну систему координат Оху.

Рівняння виду в = f(х) як завдання кривої називається явним представленням кривої.

Неявне рівняння виду F (x, y) = 0 називається неявним рівнянням кривої.

З теорем про існування неявної функції випливає, що якщо в крапці (х0, у0) кривої виконана умова

F'x (х0, у0) ? 0 або F'y (х0, у0) ? 0,

те, принаймні, у деякій околиці цієї крапки крива може бути представлена явним рівнянням того або іншого виду (причому функція, що фігурує в ньому, f або g безперервна разом зі своєї похідної).

Таким чином, тільки крапки (х0, у0) кривої, для яких виконуються відразу обоє умови

F'x (х0, у0) = 0 або F'y (х0, у0) = 0,

можуть мати ту особливість, що в їхній околиці крива не представима явним рівнянням (ні того, ні іншого виду). Крапки кривої, що задовольняють рівнянням, і називають особливими.

Рівняння, що встановлюють залежність поточних координат крапки від деякого параметра, також визначають криву на площині і називаються параметричними, тому що дають параметричне представлення кривої.

Крива є геометричне місце крапок, що задовольняють аналітичному співвідношенню розглянутих видів — у припущенні безперервності функцій, що зустрічаються в них, і їхніх похідних. Правда, геометричні образи, обумовлені цими різними способами, у цілому можуть значно відрізнятися по своєму вигляді, але в малому, в околиці звичайної (а у випадку параметричного завдання і простій) крапки, усі вони уподібнюються тим найпростішим образам, що задаються рівняннями виду.

Проведемо огляд найчастіше зустрічаються кривих.

1) Ланцюгова лінія (чорт. 1).

Її рівняння

По такій лінії встановлюється в рівновазі гнучка і нерозтяжна важка нитка (ланцюг, провід і т.п.), підвішена за обидва кінці.

Форма кривій поблизу вершини А (див. креслення) нагадує параболу, але при видаленні від вершини крива крутіше спрямовується в нескінченність. Відрізок ОА = а визначає точніше її форму — чим а менше, тим крива крутіше. Те розташування кривій, що зображено на кресленні, зовсім необов'язково, але воно дозволяє додати рівнянню кривій найбільш простий вид.

Оскільки сума квадратів величин — і — повинна дорівнювати одиниці, природно прийняти них, відповідно, за косинус і синус деякого кута t. Це приводить до звичайного параметричного представлення еліпса

х = a cos t, у = b sin t;

при зміні t від 0 до 2¶ еліпс описується проти вартовий стрілки, починаючи від кінця Л (а, 0) великої осі.

Можна було б, зрозуміло, використовувати і які-небудь інші вираження, сума квадратів яких дорівнює одиниці, і покласти, наприклад,

Аналогічно для випадку гіперболи

згадуючи відоме співвідношення, що зв'язує м и-перболические косинус і синус, можна покласти

Інше представлення тієї ж кривої:

3) Напівкубічна парабола

Тут особливою крапкою служить початок (0, 0). Якщо вирішити рівняння відносно в, то одержимо явні рівняння двох симетричних галузей кривій

4)Астроида

Це рівняння, власне кажучи, не підходить під той тип, яким ми умовилися обмежитися: у кожній із крапок (± а, 0) і (0, ± а) одна з часток похідних лівої частини рівняння звертається в нескінченність. Утім неважко, звільнивши рівняння кривої від ірраціональностей, представити його у виді

При цьому представленні зазначені крапки саме і будуть особливими.

З рівняння кривій видно, що крива лежить у колі і симетрична щодо обох осей; обмежимося тому першим квадрантом. Дозволяючи рівняння відносно в:

і диференціюючи:

Криві механічного походження.

Продовжуючи перелік прикладів, розглянемо ще деякі криві механічного походження, отримані шляхом качения одних кривих по іншим.

Циклоїда. Уявимо, що по прямій Ох (чорт. 118) ліворуч праворуч котиться без ковзання коло радіуса а з центром в А. Крива, описувана при цьому будь-якою крапкою окружності, і називається циклоїдою. Простежимо, наприклад, шлях крапки Про за час одного обороту кола.

Розглянемо катящийся крутий у новому положенні. Крапкою торкання служить вже інша крапка, N; таким чином, по прямій крапка торкання перемістилася на відстань ON. У той же час крапка Про перемістилася в положення М, пройшовши по окружності кола шлях NM. Тому що качение відбувається без ковзання, те ці шляхи рівні:

Якщо вибрати тепер як параметр, що визначає положення крапки, кут t = < NDM, на який устиг повернутися радіус, що мав на початку качения вертикальне положення АТ, то координати х и у крапки М виразяться в такий спосіб:

x = 0F — 0N — FN — NM — MG — at —a sin t,

Отже, параметричні рівняння циклоїди мають вигляд

х = a (t — sin t), y = a(t — cos t)

Эпи- і гипоциклоида. Якщо одне коло без ковзання котиться ззовні по іншому колу, то крива, описувана довільною крапкою окружності рухливого кола, називається апициклоиидой. У випадку ж качения зсередини ми маємо справу з гипоциклоидой.

Насамперед, подивимося, у чому тут виявляється відсутність ковзання. Дуга АВ, пройдена