Виразимо тепер координати х и у крапки М через t :

,

але

значить

1) Архимедова спіраль:

Криву можна розглядати як траєкторію крапки, що рівномірно рухається по промені, що виходить з полюса, у той час як цей промінь рівномірно обертається навколо полюса.

Поверхні і криві в просторі. Тут не припускаємо поглиблюватися в додатки диференціального вирахування до геометрії в просторі, залишаючи ці питання для спеціального курсу диференціальної геометрії. Тому у відношенні просторових образів ми обмежимося лише тим, що необхідно для подальших частин самого курсу аналізу.

Як і вище (нагадаємо це ще раз), усі розглянуті функції будемо припускати безперервними і имеющими безперервними похідними по своїх аргументах.

4. Поверхні и криві у просторі.

Будемо виходити з прямокутної системи координатних осей Oxy. Нам приходилося вже говорити про те, що поверхня в просторі може бути виражена рівнянням між поточними координатами виду z = f (x, y)

Приклад. 1) Крива В и в и а н і.

Так називається крива перетинання поверхонь сфери і прямого циліндра, для якого направляючої служить окружність, побудована на радіусі сфери, як на діаметрі. Нехай радіус сфери є R; якщо розташувати осі, як зазначено на кресленні, то рівняння сфери і циліндра, відповідно, будуть

Сукупність їх визначає криву.

Крива має вигляд вигнутої вісімки; у крапці (R, ПРО, 0) вона сама себе перетинає, так що ця крапка — напевно о с о б а я. Це підтверджується й обчисленням. Матриця

має визначники

які усі разом звертаються в 0 саме в цій крапці.

Криву Вквиани можна представити і параметрически, наприклад, так:

Дійсно, неважко перевірити, що ці вираження тотожно задовольняють неявним рівнянням кривої і що при зміні параметра t, скажемо, від 0 до 2¶ цілком описується вся крива.

Є випадки, коли параметричне представлення природне випливає із самого походження кривої. Розглянемо, у виді приклада, гвинтову лінію. Походження її можна собі представити в такий спосіб.

Нехай деяка крапка М, що знаходилася спочатку в А, обертається рівномірно навколо осі м (скажемо, по годинній стрілці) і одночасно бере участь у рівномірному ж поступальному русі паралельно цієї осі (допустимо, у позитивному напрямку). Траєкторія крапки М и називається гвинтовою лінією. За параметр, що визначає положення крапки М, можна прийняти кут t, що складається з віссю х проекцією ОР відрізка ОМ. Координати х и у крапки М будуть ті ж, що й у крапки Р, так що х = a cos t і в = a smt, де а є радіус

х = a cos t і в = a sin t,

де а є радіус описуваною крапкою Р окружності. Що ж стосується верикального переміщення м, те воно росте пропорційно кутові повороту t (тому що поступальний і обертальний рухи обоє відбуваються рівномірно), тобто м = ct. Остаточно параметричні рівняння гвинтової лінії будуть

х = a cos t, у = а sin t, z = ct.

Отримана гвинтова лінія називається лівої; при правій системі координатних осей ті ж рівняння виражали б праву гвинтову лінію.

Легко виключити з рівнянь параметр t і перейти до явного завдання; наприклад, знайшовши t з останнього рівняння і підставивши його вираження в перші два, одержимо

х = a cos z/c , y = a sin z/c

Висновок.

Функції часто задаються неявно за допомогою невизначених інтегралів: g(a) = тb1b2 Як b1, так і b2 можуть прагне до нескінченності, або сама функція f(x,a) може звертатися в нескінченність у деяких крапках між b1 і b2. Наближене обчислення невизначеного інтеграла - не найшвидший спосіб одержати значення такої неявної функції. Більш того, цей спосіб може виявитися практично марним, коли межі інтегрування b1 і\або b2 прагнуть до нескінченності. Розкладання функції в ряд і аналітичне інтегрування всіх членів ряду - досить швидкий метод. Найпростіші ряди - ряд Тейлора і ряд Фур'є. Рядові Тейлора властивий один недолік - його не можна проінтегрирувати, коли межі інтегрування прагнуть до нескінченності. Тоді для розкладання можна використовувати негативні ступені x або будь-які інші функції, що інтегруються на нескінченності.

Наприклад:

f(x) = a2/x2 + a3/x3 ... або:

f(x) = a1e-x + a2e-2x ...

і так далі. Коефіцієнти ai можуть бути отримані так само, як і для ряду Тейлора:

ai = 1/i!if(x)/df0i

де f0 - базисна функція розкладання. Коефіцієнти можуть бути також знайдені приблизно, наприклад, за допомогою . Тепер інтегрування здійснюється елементарно:

тҐa f(x)dx = тҐa2/x2 + тҐa3/x3 + ... -a2/a - 0.5*a3/a2...

Залишається лише просумірувати отриманий ряд з необхідною точністю. Дуже важливо, щоб розкладання по негативних ступенях починалося з x-2 - це дозволяє проінтегрирувати ряд.  

Бета-функція і гамма-функція - важливі неявні функції.

Бета-функція визначається як:

B(p,q) = т10xp-1(1-x)q-1, q>0)

Гамма-функція визначається як:

G(s) = тҐ0xs-1*Exp(-x))

Процедура, що повертає коефіцієнти розкладання (1-x)q у ряд Тейлора по x і процедура, що обчислює бета-функцію, використовуючи розкладання в ряд Тейлора при інтегруванні.

Список використаної літератури.

Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. – Москва, 1958. – 607 с.

Кастрица О.А. ЮНИТИ, 254 стр.

Гусак А.А. - ТетраСистемс, 544 стр.

// Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Шикин. - Едиториал УРСС / Эдиториал УРСС, 328 стр.