Тема: Виробнича регресія.

Хід роботи:

На основі вихідних даних розрахувати значення параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Перевірити знайдену модель на адекватність вихідним даним.

Пояснити значення частинних та сумарного коефіцієнтів еластичності.

Описати та пояснити довірчий інтервал для випуску продукції.

Побудувати рівняння та графік ізокванти для довільного значення випуску продукції.

Описати закони спадання граничної продуктивності праці та капіталу.

Теоретичні відомості

У сфері виробництва при аналізі кількісного спів-відношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати: обсяг випущеної продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції, фон-довіддача й інше. Факторами для цих показників можуть бу-ти: робоча сила, основні засоби або капітал, земля та її на-дра, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки, освіти та інше.

У більш вузькому смислі під виробничою регресією ро-зуміють залежність між обсягом виробництва (індексом ви-робництва) і величиною різних виробничих ресурсів. У за-гальному вигляді виробнича регресія може бути записана так:

Y= F(Х1, Х2...., Хn),

де Y — обсяг виробленої продукції, а Х1, Х2, ... , Хn – фак-тори, що визначають обсяг виробництва. Виробнича регресія може використовуватися як на мікрорівнях, так і на макрорівнях. У випадку макроекономічної виробничої рег-ресії народне господарство розглядається як єдина система, що функціонує по принципу «витрата-випуск».

При побудові і використанні моделі виробничої регресії слід пам'ятати, що результати обсягу виробництва згладжуються (усереднюються), разом з тим побудована модель дає можливість зробити якісний аналіз виробництва в цілому.

Одним з часткових випадків виробничої регресії є двофакторна виробнича регресія.

Обсяг виробленої продукції Y взагалі залежить від двох цінових факторів: чисельності робочої сили X1, та основних засобів (капіталу) даної галузі Х2.

Y= F(Х1, Х2),

Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези. Будемо вважати, що виробнича регресія неперерв-на і двічі диференційована.

Гіпотеза 1. Якщо збільшується один із факторів X1, або Х2 при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується.

Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни од-ного з факторів X1, X2 математично виражається як частинна похідна по цьому фактору

Гіпотеза 2. Приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів. Іншими словами, приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю.

Гіпотеза 3. Виробнича функція F(X1, Х2) є однорідною функцією відносно факторів X1, X2, з показником одно-рідності а. Це означає, що при одночасному збільшенні зна-чень факторів у разів (будь-яке стале число) обсяг вироб-леної продукції збільшиться у a разів.

F(X1, X2)= a F(Х1,Х2,).

Гіпотеза 4. На лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа:

Y=a0X1a1X2a2

Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Нехай у результаті досліджень отримані такі статистичні дані Yi, X1i, X2i (і =1, п), де Yi — обсяг випуску продукції в i-му періоді (підприємстві), X1 — чисельність робочої сили в цьому періоді, Х2 — основний капітал за цей період. На ос-нові статистичних даних необхідно оцінити параметри ви-робничої регресії.

Геометричнo виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тримірному просторі з координатами Х1, Х2, Y.

Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

lnY = lna0 + a1ln X1 + a2ln X2,

a01 = lna0, Y1 = lnY, Z1 = lnX1, Z2 = lnX2.

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель

Y1 = a01 + a1Z1 + a2Z2.

Система нормальних рівнянь для цієї регресії має вигляд

Для обчислення коефіцієнтів при невідомих а01, a1, a2 i вільних членів зручно використовувати електронні таблиці.

Частинні коефіцієнти еластичності виробничої регресії

Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт елас-тичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при не-змінних значеннях інших факторів.

Якщо лінія регресії має вигляд Y = f[X1, Х2,...Хm), то частинний коефіцієнт еластичності для фактора Xі, обчислюється за формулою

, (i=1,m)

Знайдемо частинні коефіцієнти еластичності для вироб-ничої регресії Кобба-Дугласа:

Y=a0X1a1X2a2,

Таким чином, параметр a1 є частинним коефіцієнтом еластичності фактора Х1 виробничої регресії Кобба-Дуг-ласа і показує, що показник Y змінюється на a1 відсотків, якщо фактор X1 змінюється на 1% при незмінних значен-нях фактора Х2. Оскільки коефіцієнт еластичності додат-ний, то збільшення (зменшення) фактора викликає, відпові-дно, збільшення (зменшення) показника.

Аналогічним чином знайдемо, що частинний коефіцієнт еластичності для другого фактора дорівнює другому параме-тру kx2 = a2 і, відповідно, показує, що зміна фактора Х2 на 1% викликає зміну показника на а2 відсотків при незмінних значеннях фактора Х1

Сумарний коефіцієнт еластичності

Розглянемо гіпотезу 3 про однорідність виробничої рег-ресії з економічної точки зору. Збільшимо обсяг факторів у будь-яке стале число і прослідкуємо реакцію зміни обсягу випуску продукції на такі зміни факторів.

Нехай у деякий момент часу фактори і показник мали значення x10, x20, y0, тобто Y0=a0X10a1X20a2, Після збільшення факторів у разів отримаємо:

Y=a0X1a1X2a2=a0(X10)a1(X20)a2=a1+a2 a0X10a1X20a2=a1+a2 Y0.

У даному випадку показник однорідності а дорівнює сумі частинних коефіцієнтів еластичності a1 + а2. Цей пока-зник однорідності називають загальним (сумарним) ко-ефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул мо-жна зробити висновки:

1. Якщо сумарний коефіцієнт еластичності а = 1, то при збільшенні факторів виробництва в (стале число більше одиниці) разів, обсяг виробництва збільшиться в стільки ж разів.

2. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в (стале число більше одиниці) разів викличе збільшення об-сягу виробництва в число разів більше за , тобто в a1+a2 , де a1 + а2 > 1. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.

3. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності менше одиниці, то збільшення факторів виробництва в