Класифікація фазових портретів автономних систем в околі положення рівноваги за лінійним наближенням.

Припустимо, що диференціальна форма , визначена в області , має ізольовану особливу точку . Можна вважати, що . Якщо це не так, то потрібно зробити заміну змінних . Ми будемо вивчати поведінку фазових кривих відповідної автономної системи в околі тривіального положення рівноваги. Для цього використаємо метод лінеаризації.

1.1 Лінеаризація автономної системи.

На першому етапі цього методу замість вихідної системи досліджують лінеаризовану систему, яка є простішою.

Нехай функції і неперервно диференційовані в деякому околі початку координат і задовольняють таку умову .

Тоді

при .

при .

Означення

Систему

називають лінеаризованою в околі тривіального положення рівноваги щодо системи

(1)

Нехай

.

Тоді лінеаризовану систему можна записати у такому вигляді:

. (2)

Фазові портрети лінеаризованих систем.

Кожній лінеаризованій системі можна поставити у взаємно однозначну відповідність (2 х 2)-матрицю з дійсними елементами. Класифікуючи такі матриці за кількістю лінійно-незалежних власних векторів та типом власних чисел, отримаємо класифікацію фазових портретів відповідних лінеаризованих систем. Ми будемо досліджувати лінеаризовані системи, в яких А це означає, що ізольоване положення рівноваги системи (2).

І. Характеристичне рівняння

де - слід матриці, має пару дійсних різних коренів .

В цьому випадку матриця має пару лінійно незалежних власних векторів і :

(3)

Лінійна заміна змінних

розщеплює систему (2). Справді, в нових змінних ця система матиме вигляд

або, якщо врахувати (3),

.

Так, як вектори і лінійно незалежні, то це співвідношення еквівалентне системі

(4)

що є прямим добутком скалярних рівнянь. Фазова крива цієї системи, що в момент стартує з точки , описується такими рівняннями

(5)

Вигляд цих кривих можна дослідити за допомогою інтегральних кривих відповідного рівняння з відокремлюваними змінними

.

Його інтегральні криві визначаються сукупністю співвідношень

(6)

Розглянемо наступні випадки.

І.1. Власні числа з однаковими знаками: .

Фазовими кривими системи (4) є координатні півосі, а також сім'я кривих типу парабол. Лінійне відображення переводить їх у фазові криві системи (2). Образом орта осі є вектор , а образом орта осі є вектор . В цьому випадку фаховий портрет системи називається вузлом (рис.1). Напрям стрілок на фазових кривих визначається знаком власних чисел. Якщо власні числа додатні (від'ємні), то фазові криві входять у початок координат при .

Зауваження. Параболи дотикаються в початку координат того власного вектора, який відповідає меншому за модулем власному числу.

І.2. Власні числа різних знаків: .

В цьому випадку фазовий портрет системи називається сідлом (рис.2). Фазові криві мають "гіперболічний" тип. На площині при траєкторії наближаються до тієї власної прямої, яка відповідає додатному власному числу.

ІІ. Характеристичне рівняння має кратний корінь: .

Розглянемо такі підвипадки.

ІІ.1. Матриця А діагональна.

Траєкторії системи

це всі промені, що входять у початок координат при , якщо . В цьому випадку фазовий портрет називається дикритичним вузлом (рис.3).

ІІ.2. Матриця недіагональна.

Нехай - власний вектор.

або ,

де . Тому, якщо - довільний лінійно незалежний із вектор, то , а , тобто - власний вектор. Але тоді знайдеться таке , що . Вважатимемо, що . Дійсно, для цього потрібно за власний вектор взяти замість .

Для лінйінонезалежних векторів і справджуються рівності .

Якщо в системі (2) зробити заміну змінних , то ми отримаємо

.

Звідси отримаємо систему:

(7)

Ця система називається напівпрямим добутком скалярних рівнянь.

Відповідне їй рівняння в симетричній формі має такий вигляд

. (8)

Це рівняння однорідне. Інтегральними кривими є , та , а при заміна змінних зводить це рівняння до вигляду . Звідси, і . Інтегральні криві рівняння (8) визначаються сукупністю

Тепер можна легко дослідити поведінку інтегральних кривих системи (7). Пряма є -ізокліною рівняння (8) з , а пряма - 0-ізокліною. При кожному фіксованому функція має такі властивості:

.

Інтегральна крива у точці перетину прямої має дотичну з кутовим коефіцієнтом , а у точці перетину прямої досягає свого екстремуму і закінчується в початку координат, дотикаючись прямої .

В цьому випадку фазовий портрет називається виродженим вузлом (рис.4).

ІІІ. Характеристичне рівняння має пару комплексноспряжених коренів .

Цим кореням відповідає пара лінійно незалежних (над полем комплексних чисел) комплексноспряжених власних векторів :

(9)

Якщо ввести нові змінні і , то систему (2) можна розщепити за формулою

.

Відображення є взаємно однозначним на множині .

Підставивши у систему (2) , отримаємо

Виділимо дійсну та уявну частини і дістанемо розщеплену систему

(10)

Для цієї системи легко знайти розв'язок задачі Коші з початковими даними

ІІІ.1. Дійсні частини власних чисел відмінні від нуля: . В цьому випадку фазові криві системи (10) – спіралі. Якщо , то вони навиваються на початок координат при . Такий фазовий портрет називається фокусом (рис. 5).

ІІІ.2. Дійсні частини власних чисел дорівнюють нулю: У координатах фазові криві – концентричні кола, а у вихідній системі координат – концентричні еліпси. Фазовий портрет називається центром (рис.6).

2. Стійкість за Ляпуновим

Задача Коші для системи диференціальних рівнянь у нормальній формі буде коректною, якщо розв'язок буде неперервно залежним від початкових умов на скінченному проміжку зміни незалежної змінної. Якщо функція , тобто, права частина системи задовольняє умові теореми Пікара, то така властивість розв'язку справджується. Але дуже часто потрібно досліджувати поведінку розв'язку на півосі . У цьому випадку не можна гарантувати того, що малі збурення початкових умов приведуть до малих збурень розв'язку. Щоб не зрозуміти розглянемо приклад скалярного рівняння: де

Нехай

- незбурений розв'язок рівняння

- збурений розв'язок рівняння

Тоді .

При з нерівності випливає

Якщо то при достатньо великих величина стає як завгодно великою хоч би яким малим за модулем було збурення