початкових умов .
Проблему неперервної залежності розв'язків диференціальних рівнянь на півосі вивчає теорія стійкості, яку розробив видатний російський вчений О.М. Ляпунов.
Розглянемо систему рівнянь
, (1)
яка визначена на множині . Припускаємо існування і єдність розв'язку задачі Коші з довільними початковими умовами Розв'язок системи (1), який при набуває значення , будемо позначати через .
Сформулюємо означення стійкості відносно початкових умов.
Означення.
Розв'язок системи (1) називають стійким за Ляпуновим, якщо:
Цей розв’язок існує на півосі
Для кожного і кожного можна вказати таке що кожний розв'язок системи (1), в якого , існує на півосі і задовольняє умову
Друга вимога означення стійкості має простий геометричний зміст: графік кожного розв'язку, значення якого при належить -околу точки , повинен при цілком належати -трубці (-смузі) розв'язку .
Розв'язок називають нестійким, якщо він не є стійким, тобто таким, для якого порушується хоча б одна з вимог в означенні стійкості.
Означення.
Розв'язок називають асимптотично стійким за Ляпуновим, якщо:
Він стійкий за Ляпуновим;
Для кожного можна вказати таке , що для кожного розв'язку , в якого виконується умова
.
Зауваження.
Розв'язок скалярного рівняння називають стійким (асимптотично стійким, нестійким), якщо стійкий (асимптотично стійкий, нестійкий) відповідний розв'язок еквівалентний системі рівнянь у нормальній формі Коші.
Дослідження на стійкість даного розв'язку системи можна звести до дослідження на стійкість тривіального розв'язку деякої допоміжної системи. Покажемо це в загальному випадку.
Зробимо у системі (1) заміну шуканої функції за формулою
, (2)
де - шукана функція (збурення розв'язку ), - розв'язок, який досліджується на стійкість. Ми отримаємо відносно у таку систему
. (3)
Система (3) називається системою збурених рухів, або системою збурень.
Ця система має тривіальний розв'язок, тобто точку спокою , і задача дослідження його на стійкість (асимптотичну стійкість, нестійкість) еквівалентна задачі дослідження на стійкість (асимптотичну стійкість, нестійкість) розв'язку системи (1).
Розглянемо лінійну систему
(4)
із неперервними коефіцієнтами на півосі . Розв'язок задачі Коші для системи (4) єдиний і існує на півосі .
Теорема 1.
Розв'язок системи (4) стійкий (асимптотично стійкий) тоді і тільки тоді, коли стійким (асимптотично стійким) є тривіальний розв'язок відповідної однорідної системи
Доведення.
У системі (4) виконаємо заміну (2):
, звідси, внаслідок тотожності , отримаємо стійку систему збурень
. (5)
Стійкість (асимптотична стійкість) тривіального розв'язку (5) еквівалентна стійкості (асимптотичній стійкості) розв'язку системи (1).
Теорема доведена.
Наслідок.
Оскільки система збурень (5) не залежить від розв'язку і функції , то всі розв'язки лінійної системи (4) стійкі (нестійкі, асимптотично стійкі) водночас. Тому коректним є поняття стійкості (нестійкості, асимптотичної стійкості) лінійної системи, причому достатньо досліджувати на стійкість лінійну однорідну систему (5).
Теорема 2.
Для стійкості лінійної однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її фундаментальна матриця була обмеженою на .
Доведення.
Нехай і - збурений розв'язок системи (5), - довільні.
Тоді
якщо отже система (5) стійка.
Припустимо, що фундаментальна матриця необмежена на і покажемо, що у цьому випадку система (5) буде нестійкою. З припущення випливає, що серед стовбців матриці знайдеться стовпець із необмеженою на нормою, тобто існує така послідовність , для якої . Нехай довільне, а і як завгодно мале. За початкову умову збуреного розв'язку візьмемо вектор де - координатний орт простору Тоді а .
Так, як необмежена, то знайдеться таке , при якому, наприклад, А це означає нестійкість системи (5).
Теорема
Для асимптотичної стійкості лінійної однорідної системи (5) необхідно і достатньо, щоб норма ї фундаментальної матриці прямувала до нуля при .
Доведення.
Нехай . Обмеженість очевидна. Тому система (5) стійка. Маємо: при .
Бачимо, що друга вимога із означення асимптотичної стійкості у даному випадку виконується при будь-якому .
Нехай система (5) асимптотично стійка. Тоді тривіальний розв'язок асимптотично стійкий.
Згідно означення асимптотичної стійкості, для довільного розв'язку такого, що .
Нехай - довільний розв'язок системи (5) із початковою умовою Розглянемо розв'язок системи (5) такий, що Тоді Отже, при .
Тому і .
Теорема доведена.
Зауваження.
Розв'язки лінійного однорідного скалярного рівняння із неперервними на коефіцієнтами
1) стійкі тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ;
2) асимптотично стійкі тоді і тільки тоді, коли де
матриця Веронського фундаментальної системи розв'язків цього рівняння.
Нелінійні системи, на відміну від лінійних, можуть мати як стійкі, так і нестійкі розв'язки.
3. Метод функцій Ляпунова
Нехай - скалярна функція змінної , визначена й неперервно диференційована в кулі і така, що .
Означення 1.
Функція називається додатновизначеною (від'ємновизначеною) в кулі , якщо для всіх виконується нерівність . В обох цих випадках функцію називають знаковизначеною.
Означення 2.
Функція називається додатносталою (від'ємносталою) в кулі , якщо для всіх виконується нерівність В обох цих випадках функцію називають знакосталою.
Означення 3.
Функція називається знакозмінною в , якщо в кулі вона набуває як додатних, так і від'ємних значень.
Розглянемо, наприклад, такі функції
а)
б)
в)
г)
д)
У випадку а) функція є додатно визначеною в крузі при у випадку б) функція є від'ємно визначеною в крузі при у в) функція додатно-стала, оскільки і не лише при , а й у всіх точках у випадку г) функція є від'ємно-сталою, бо вона перетворюється в нуль не лише при а й у всіх точках прямої
В д) функція А звідси випливає, що у будь-якому околі точки може набувати значень різних знаків. Тому функція є знакозмінною.
Розглянемо автономну систему рівнянь
, (1)
де Припустимо, що функція визначена і неперервна в кулі при деякому , задовольняє умову Ліпшиця в і , тобто система (1) має точку спокою.
Нехай - деякий розв'язок системи (1). Уздовж цього розв'язку функція , як функція від часу, неперервно диференційована.
Означення 4.
Величину
(2)
називають похідною, складеною вздовж розв'язків системи (1) (уздовж траєкторії системи