(1,74)

Ви бачите ,що формула(1,74) повністю співпадає з формулою (1.68).

Так, якщо на місяць вам потрібно $10 000,гроши ви тримаєте в банку на рахунку з 6% річних або 0,5%на місяць та витрати знаття грошей становлять $2, наприклад , комісійні за зняття грошей за допомогою пластикової картки ,та по формулі (1.74) Ви знаходите оптимальний розмір суми для зняття:

Ви бачите, що оптимальні суми зняття грошей становлять близько $2800

Якщо ж гроши лежать на депозиті під 12% річних або 1% річних ,то оптимальний розмір знімаємої суми становлять вже

В попередньому розділі ви розглянули управління оборотним капіталом в умовах визначеності .Але ж якщо до вас приходять покупці випадковим чином та закупають випадкову кількість товару, то не маючи запасу, ви не завжди будете в змозі задовольнити бажання покупців ,що може привести чи до сплати неустойки за не можливість доставити партію товару , чи до втрати покупців. В тей же самий час мати дуже великий розмір запасу є невигідним з за заморожених в запасах коштів та з за плати за зберігання запасів.

Розгляньте цю ситуацію більш детально. Нехай до вас в одиницю часу з ймовірністю х приходить запит на одиничну партію товару ,та з ймовірністю y обслуговується запит на одиничну партію товару. Вас цікавить середня величина незадоволеного попиту, котрий у Вас накопиться з часом.

Теорема 1.9 Середня довжина черги

Нехай довжина черги може приймати цілі невід’ємні числа :0,1,2,.... При цьому равна 0 довжина черги означає відсутність черги. Нехай до вас в одиницю часу з ймовірністю х приходить запит на одиничну партію товару ,та з ймовірністю y обслуговується запит на одиничну партію товару, з ймовірністю 1-х-у довжина черги залишається не змінною.

Тоді середня довжина черги визначається за формулою

(1,75)

Доведення:

Нехай r(i) визначає ймовірність того, що Ви маєте незадоволений попит в І партій Тоді ймовірність того, що в наступний момент часу з’явиться новий клієнт та середня величина незадоволеного попиту стане І+1 з ймовірністю xr(I):

(1,76)

де ймовірність переходу з стану з величиною незадоволеного попиту І до стану з величиною незадоволеного попиту І+1.

З ймовірністю у Вам підвезуть одиничну партію товару та середня величина незадоволеного попиту стане І-1 з ймовірністю :

(1,77)

З ймовірністю 1-х-у нічого не трапиться :ні з’явиться новий клієнт, ні підвезуть

нову партію Тому ймовірність того що довжина черги залишиться рівною І дорівнює :

(1,78)

Якщо в даний момент часу ви не маєте незадоволеного попиту (ймовірність відсутності незадоволеного попиту дорівнює r(0) , то можливі дві ситуації: з’явлення нового покупця з ймовірністю х ,та відсутність змін з ймовірністю (1-х):

(1,79)(1,80)

З за малості х у (цього можна добитися зменшуючи величину часового проміжку до 0 )Ви нехтуєте можливістю того, що одночасно трапиться декілька подій , наприклад одночасно прийдуть декілька покупців. Ви шукаєте середню величину, тобто стаціонарний стан системи (1,76-1,80) В цьому випадку рівняння ви можете написати:

(1,81)(1,82)

Рівняння (1.81)(1.82) мають розв’язок:

В більш компактному вигляді:

Тепер вам залишилось отримати чисельні значення для ймовірності r(I),І0. Для цього випишемо рівняння нормування: ймовірністю 1 система буде мати задовільнений попит чи яку небуть величину незадоволеного попиту . Математично ця умова запишеться у вигляді:

або

Маючи вираз для суми геометричної прогресії:

Ви отримаєте :

Найдемо середню довжину черги :

Тепер вам залишилось підрахувати ряд :

Таким чином ми отримали:

Теорему доведено.

Чисельний приклад 1,30 Довжина черги.

Вас цікавить довжина черги в залежності від відношення х/у- ймовірності отримання нового замовлення до ймовірності обслуговування присутнього замовлення в одиницю часу.

Довжина черги:

X/Y | 0 | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,3 | 0,35 | 0,4 | 0,45 | 0,5 | 0,55 | 0,6 | 0,65 | 0,7 | 0,75 | 0,8 | 0,85 | 0,9 | 0,95

_ I | 0 | 0,05 | 0,11 | 0,18 | 0,25 | 0,33 | 0,43 | 0,54 | 0,67 | 0,82 | 1 | 1,22 | 1,5 | 1,86 | 2,33 | 3 | 4 | 5,67 | 9 | 19

В першій строчці розташовані різні відношення х/у ,в другій Відповідні очікувані довжини черги І розраховані за формулою (1,75) Ви бачите що для мінімальної довжини черги ймовірність(швидкість) обслуговування клієнта повинна перевищувати ймовірність(швидкість) приходу клієнтів. Так на приклад для середньої довжини черги в 2 особи таке перебільшення повинно складати 33%

Теорема 1,10 Оптимальна величина запасу

Нехай неустойка за незадовільненя попиту дорівнює М, вартість зберігання однієї одиниці товару є , ймовірність приходу клієнта в одиницю часу є х, ймовірність задоволення клієнта в одиницю часу є у.

Тоді оптимальний розмір запасу L визначається за формулою:

(1,83)

Доведення:

Ймовірність r(I>L) того, що величина незадоволеного попиту буде більша за L розраховується за формулою:

тому середня величина запасу для задоволення усіх покупців повинна дорівнювати або

Якщо при не можливості задовольнити попит , ви платите неустойку в розмірі М, то для визначення оптимальної величини запасу L, Ви розв’язуєте задачу:

(1,84)

Де - вартість зберігання 1 одиниці товару.

Задача(1.84) розв’язується аналітично, але її можна розв’язати чисельно або графічно. Оптимальна величина резервного запасу L задовольняє умові:

або

Теорему доведено

Так при витратах зберігання $1.6/штука,=0,25,М=$100 ви отримаєте значення оптимального резервного запасу

або 3-4 штуки. Якщо неустойка зросте до $1000 то оптимальний запас збільшится до 5 штук. Якщо ж =0,8 то оптимальні величини резервного запасу будуть вже 6,7 та 17 штук відповідно для