де V0 - ринкова ціна одної акції;

Е - ціна використання опціону;

max - вибір найбільшої з двох альтернатив Vs - E або 0

Щоб проілюструвати цю формулу, припустимо, що опціон на акцію Microsoft Corporation коштує 25 дол. на момент закінчення терміну дії опціону і ціна користувача опціону складає 15 дол. Вартість опціону буде становити 25 дол. - 15 дол. = 10 дол. Зауважимо, що вартість опціону визначається виключно вартістю акції мінус ціна використання; але опціон не може мати від’ємну вартість. Коли ціна використання перевищить вартість акції, вартість опціону стає рівною нулю.

Це зауваження проілюстровано графічно на мал. 4.1., де показана теоретична вартість варранту. Ціна використання опціону розташована вздовж лінії теоретичної вартості; горизогнтальна вісь являє собою ціну акції на момент закінчення терміну дії опціону.

Ціна

опціону

Ринкова

вартість

Теоретична

вартість

Ціна виконання опціону

Мал. 4.1. Взаємозв’язок ціни акції та ціни опціона

Оцінка до закінчення терміну дії опціону.

Розглянемо тепер вартість опціону за один період до закінчення терміну його дії. Для спрощення припустимо, що дія опціону може закінчитись лише в день закінчення дії. Вартість акції на момент закінчення дії невідома, а швидше є об’єктом ймовірного аналізу. Доти, поки є хоча б якийсь час до закінчення терміну опціону, його ринкова вартість може бути більш теоретичною. Причина в тому, що опціон може мати вартістьі в майбутньому. Це питання обмірковувалось по відношенню до варранту, тому в подальшій дискусії немає необхідності. Реальну вартість опціону можна відобразити перерваною лінією на мал. 4.1.

Ціна

опціону

Лінія теоретичної

вартості

3

2

1

Ціна виконання опціону

Мал. 4.2. Взаємозв’язок ціни акції та ціни опціона при різних термінах дії

Вплив терміну дії до закінчення дії опціону. Звичайно, чим більший термін до моменту закінчення дії опціону, тим вища його вартість порівняно з теоретичною. Це очевидно, тому що опціон довше буде вартісним. Більше того, чим пізніше хтось платить ціну використання, тим нижча поточна вартість опціону, і це, ясна річ, збільшує вартість опціону.

В міру наближення закінчення терміну опціону лінія, яка показує взаємну залежність вартості опціону та акції, стає більш «випуклою». Це відлображено на мал. 4.2. Лінія 1 являє собою опціон з коротшим терміном до закінчення його дії, порівняно з лінією 2, лінія 2 - опціон з меншим терміном до закінчення дії опціону порівняно з лінією 3.

Вплив змінності. Звичайно, найбільш важливий фактор, що впливає на оцінку опціону, - це зміна ціни акцій, звязаних з ним. Конкретніше, чим більша ймовірність крайніх наслідків, тим більша вартість опціону для його власника (при інших рівних умовах). Ми передбачаємо наявність на початку періоду дії опціону двох видів акцій, які мають наступні ймовірні розподіли можливої вартості на момент закінчення терміну дії опціону:

ЙМОВІРНІСТЬ | ЦІНА АКЦІЇ А

дол. | ЦІНА АКЦІЇ В

дол.

0,10

0,25

0,30

0,25

0,10 | 30

36

40

44

50 | 20

30

40

50

60

Очікувана ціна акції вкінці періоду однакова для обидвох видів - 40 дол. Але, для акції В розбіжність можливої вартості значно вища. Припустимо, що ціна використання опціонів на купівлю акцій А і В вкінці періоду також однакова, скажімо 38 дол. Таким чином, акції двох видів мають однакову очікувану вартість вкінці періоду, і опціони мають однакову ціну використання. Очікувана вартість опціону для акцій А вкінці періоду:

опціон А= 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (44 дол. - 38 дол.)(0,25) + (50 дол. - 38 дол.)(0,10) = 3,30 дол., тоді як акції В:

опціон В = 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (50 дол. - 38 дол.)(0,25) + (60 дол. - 38 дол.)(0,10) = 5,80 дол.

Таким чином, більша розбіжність можливої вартості акцій В веде до більшої очікуваної вартості опціону на момент закінчення терміну його дії. Причина криється в тому, що вартість опціонів не може бути від’ємною. В результаті, чим більша розбіжність, тим більше число позитивних наслідків, виміряних за формулою ринкова ціна мінус ціна використання. Збільшення коливань вартості акцій цим самим збільшують число позитивних вартостей для покупця опціону і, значить, збільшення вартості опціону.

5. Розрахунок вартості та хедж-стратегій для опціонів Европейського типу.

Дискретний час

Нагадаємо, що розглядається (В, S)-ринок облігацій та акцій, вар-тість яких змінюється за формулами:

Bt=B0(1+a)t (5.1)

dSt=St(dt+dWt) (5.2)

початкові значення — В0 та S0 відповідно і на задано сімейство ймовірнісних мір P={P}, причому відносно кожної з мір Р послідовність (р1,р2, ... ,рN) — це незалежні однаково розподілені випадкові величини

P{p1=)=p, P(p1=)=q=1-p,

0<р<1, -1 << a <.

Нехай H = (Hп , 0пN) — самофінансована стратегія,

xH = (, 0пN) — капітал, що відповідає цій стратегії,

fN = fN (S0 , S1(), ... ,SN()) — фіксована невід'ємна функція. Нехай також Е* позна-чає математичне сподівання (середнє) відносно міри Р* такої, що р =p*= , P(p1=)=p*.

Теорема 5.1. Для того, щоб самофінансована стратегія H була мінімальним (х, fN)-xeджeм, необхідно і достатньо, щоб початковий капітал х дорівнював

x = (1+a)-N E*fN (S0, S1(), ... ,SN()) (5.3)

Наслідок. В умовах (В, S)-ринку справедлива ціна опціону Європей-ського типу дорівнює

CN=(1+a)-N E*fN ,

де N — фіксований момент виконання опціону,

fN = fN (S0 , S1 , ... , SN) — фіксована функція платежів. Тут Е* — математичне сподівання відносно такої міри Р*, що

P* (p1 = ) = р* = .

Існує мінімальний самофінансований (СN, fN)-хедж H* = (, 0пN) = (, , 0пN) такий, що

береться з розкладу:

Yn = ,

і