при цьому значення капіталу в момент часу t = n дорівнює
= (1 + a)n-N E*(fN/Fn) .
Розглянемо тепер частковий і більш простий випадок, коли функція платежів fN залежить не від всієї " траєкторії " S0 , S1 , ... , SN, а лише від вартості акції SN в момент виконання опціону, тобто fN=f(SN). На-приклад, для Європейського опціону купівлі
fN=(SN - k)+ = max (SN - k , 0) ,
а для відповідного опціону продажу
fN=(k - SN)+ = max (k - SN , 0) ,
де К — договірна вартість, що її обумовлено в мо-мент придбання опціону, і за якою в момент N будуть купуватися або продаватися акції. В цьому випадку можна, за допомогою біноміаль-ного розподілу, безпосередньо підрахувати Е*fN і, таким чином, спро-стити формулу справедливої ціни опціону:
CN= (1+a)-N E*fN .
Сфор-мулюємо відповідний результат без доведення. Розглянемо функцію
Fn(x,p) = f( x (1+)k (1+)n-k ) pk (1-p)n-k (5.4)
(— це число комбінацій з n по k, , = 1).
Теорема 5.2. Для опціону Європейського типу з функцією пла-тежів fN=f(SN) мають місце наступні твердження:
1. Справедлива ціна опціону дорівнює
CN=(1+a)-N FN(S0,P*),
де р*= ;
2. Існує самофінансований мінімальний хедж
=( , )=( , , ) ,
причому
= ;
3. Капітал X^ в момент п, 0 <, п < N для мінімального хеджу дорівнює
=(1+a)n-N FN-n(Sn , p*) .
Теорема 5.3. Справедлива ціна Cn Європейського опціону купівлі з функцією платежів f(SN) = (Sn - К)+ дорівнює:
1.
CN=S0 B(k0 , N , p) - K(1+a)-N B(k0,N,p*) ,
де k0=1+ , якщо ;
2.
CN = 0 , якщо k0 > N .
Встановимо тепер зв'язок між справедливою ціною CN розгляну-того вище опціону купівлі і ціною стандартного Європейського опціону продажу з функцією платежів f(SN) = (K-Sn )+ . Для цього запишемо таку тотожність:
(-x)+ = тах(—x, 0) = max(x, 0) — x = x+ — х ,
звідки (К - SN)+ = (SN - K)+ — SN + K . Якщo позначити справедливу ціну опціону продажу через PN , то
PN = Е* (К - SN)+ (1 + а)-N = (1 + а)-N [E* [ (SN - K)+ -SN] + К] = = (1+a)-N K + CN - (1 +a)-N E*SN .
Оскільки SN = S0 (1+p1) (1+p2) ... (1+pN), то зважаючи на незалежність і однакову розподіленість випадкових величин р1,р2,...,pN маємо, що
статочно
PN=(1+a)-N K + Cn - S0 .
Цю рівність, що пов'язує справедливі ціни опціонів купівлі та про-дажу, називають паритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).
6.
Приклади роботи з опціонами
Нехай Sn , 0 n N — це випадкова еволюція вар-тості 1000 доларів США (USD), що вимірюється в українських гривнях (Грн). Нехай S0=5400 гривень і в момент n = 1 ціна може дорівнювати: S1 =
Тоді S1 = S0(1+p1), звідки 1+p1 = , p1 = - 1 , тобто випадкова величина р1 може мати два значення:
p1 =
Нехай банківський рахунок не змінюється: Вп = B0 = 1, а = 0 (з фінан-сової точки зору це означає, що банк не нараховує процентів на внесок і не бере процентів за позику).
1. Розрахунок справедливої ціни. Нехай N = 1, К = 5400 Грн, f(S1) = (S1 - K)+ = (S1 - 5400)+=max(S1-K,0). Це означає, що при підвищенні курсу долара покупець Європейського опціону купівлі одержить 5700 — 5400 = 300 Грн, a при падінні курсу
f(S1)=max(0,5200-5400)=0, тобто
дохід =
Видно, що , .
Тому ймовірність р* = .
Якщо припустити, що P(p1=3/54)=p*=2/5, P(p1=-1/27)=3/5, то справедлива ціна опціону дорівнює:
= 120 Грн
2.
Розрахунок хедж-стратегії інвестора. В даному випадку інвес-тор — це продавець опціону купівлі. Якщо справедливу ціну розраховано за ймовірністю р*, то в початковий момент часу інвестор одержав від по-купця суму в 120 Грн, і це його початковий капітал X0.
Тобто, X0 = 120, = 0, В0 = 1, S0 = 5400, . Перед моментом часу n = 1 продавець повинен перетворити свій портфель (,) в портфель (,) таким чином, щоб після оголошення значення була б можливість вико-нати умови контракту, тобто заплатити гроші покупцю і повернути борг (борг відповідає від'ємним значенням , якщо борг є). Підра-хуємо тепер , , що відповідають мінімальному самофінансованому хеджу, за формулами теореми 5.2 (п.2). Одержимо: = .
Оскільки X0 = B0 + S0 і В0 = 1, то можна знайти = X0 -S0 = = 120 - 3240 = -3120. Від'ємність величини = -3120 означає, що інвестор (тобто продавець опціону) бере позику в розмірі 3120 Грн. Таким чином, він має Х0 -В0 = 120 + 3120 = 3240 Грн.
Розглянемо тепер, що відбувається після моменту N = 1, коли було оголошено новий курс долара. Можливі два варіанти (в зв'язку з попередніми припущен-нями):
а) курс долара піднявся (p1 = = 1/6), тобто в момент часу N = 1 , 1000 USD дорівнюють 5700 Грн. В цьому випадку інвестор повинен виплатити покупцю суму в розмірі f(S1)= mах(0, 5700-5400) = 300 Грн. I він справді може це зробити, оскільки його капітал в момент часу N = 1 дорівнює
Х1 =B1 +S1 = -3120 + (3/5)5700 = -3120+3420=300 Грн. Тоб-то капітал S1 =3240 Грн є достатнім для сплати 300 Грн покупцю і повернення боргу в 3120 Грн на банківський рахунок;
б) курс долара зменшився (р1 = = -1/27), тобто в момент часу N = 1 , 1000 USD дорівнюють 5200