Середнім очікуваним доходом від інвестицій (прямих чи портфельних) є величина

де Рі — ймовірність того, що дохід від інвестицій буде дорівнювати Ri. Якщо під прямими інвестиціями розуміти інвестиції коштів у певний інвестиційний проект, а під портфельними — у портфель фінансових активів, то формула (12.16) дасть змогу при визначених певним способом ймовірностях обчислити середній очікуваний дохід як за портфелем фінансових активів, так і за інвестиційним проектом.

Не вдаючись до проблем, пов'язаних з оцінюванням ймовірностей у конкретних випадках, обчислимо очікуваний дохід за портфелем.

Приклад. Є два портфелі фінансових активів І та II. Ймовірності рі того, що дохід за портфелем становитиме Д (і = 1, 2,..., 5), наведено в табл.12.1.

Таблиця 12.1. Залежність між доходом за портфелем та ймовірністю його отримання

Середній очікуваний дохід за портфелями І та II згідно з (12.16) дорівнює:

Функціональні залежності між величинами Д та їх ймовірностями рі називають кривими розподілу ймовірностей. Якщо ці залежності мають вигляд, як показано на рис. 12.5, відповідний розподіл називають нормальним. Цей розподіл має дуже широке практичне застосування як у математиці, так і в економіці та безпосередньо у фінансах. З достатнім ступенем точності можна вважати, що залежність між можливою величиною доходу та відповідною ймовірністю в цьому прикладі та багатьох інших прикладних задачах підпорядковується нормальному закону.

Проте не в усіх випадках така апроксимація ймовірностей є прийнятною. Наприклад, у разі дострокового погашення позики чи облігації, виконання американського опціону чи варанта, конвертації облігації в акцію існує невизначеність, пов'язана з можливістю вибору того чи іншого варіанта, яка викличе асиметрію в розподілі ймовірностей. Присутність такої асиметрії ускладнює оцінювання відповідних ризиків та управління ними. Отже, оцінювання ризиків у більшості випадків проводиться на основі дуже зручного у використанні нормального розподілу ймовірностей, а в разі потреби ризики оцінюються за більш складною методикою на основі асиметричного розподілу ймовірностей.

Визначимо ризик у термінах теорії ймовірності, а саме, яка ймовірність отримати дохід менший від очікуваного. Ступінь ризику доцільно вимірювати такою имовірносною характеристикою, як стандартне відхилення, яке визначають за формулою

Для нормального розподілу виконується так зване правило "За", яке має дуже важливе практичне застосування в теорії ризику, а саме ймовірність того, що величина середнього очікуваного доходу M(R) знаходиться в інтервалі [M(R) - 3у, M(R) + 3у] і дорівнює 0,997. Це означає, що якщо відома величина а, можна майже беззаперечно стверджувати, що очікуваний дохід знаходиться в інтервалі [M(R) — 3у, М(К) + 3у], або [Rmin, Rmax]- Ймовірність того, що очікуваний дохід M(R) знаходиться в інтервалі [M(R) - у, M(R) + у], дорівнює 0,68, a того, що в інтервалі [M(R) - 2у, M(R) + 2у], — 0,95.

Отже, величина а дає змогу оцінити міру невизначеності або, іншими словами, вказати інтервал невизначеності величини очікуваного доходу, тобто оцінити ризик (див. рис. 12.6).

Чим більша величина а у кожному конкретному випадку, тим більший інтервал невизначеності і ризик.

Визначимо за формулою (12.17) стандартне відхилення для портфелів І і II, тис. гр. од.:

Отримані результати свідчать про те, що портфель II є більш ризиковим, ніж портфель І, хоча очікуваний дохід за портфелем І дорівнює очікуваному доходу за портфелем II.

Стандартне відхилення є абсолютним показником мінливості очікуваного доходу. Відносним показником мінливості очікуваного доходу є коефіцієнт варіації, який визначають за формулою

Цей показник також відображає ризик і вимірюється в процентах до величини очікуваного доходу. Значення v < 10% відображає слабку мінливість, 10% < v < 25% — середню і v > 25% — високу мінливість.

У табл. 12.2 наведено середні значення коефіцієнтів варіації для деяких видів цінних паперів США за період з 1926 по 1991 р.

Таблиця 12.2. Мінливість доходу за різними видами цінних паперів

Рекомендована література

1. Самуэлъсон Пол А., Нордхаус Вильям Д. Экономика. — М.: Бином: КноРус, 1999.

2. Нікбахт Е., Гроппеллі А. Фінанси. — К.: ВІК: Глобус, 1992.

3. Севрук В.Т. Банковские риски. — М.: Дело, 1995.

4. Синки Дж.Ф. Управление финансами в коммерческих банках. — М.: Catallaxy, 1994.

5. Miller Roger G. Risk management. — New York: FTBI Ltd, 1984.

6. Hertz David В., Thomas H. Risk Analysis and its Applications. — New York: John Wiley & Sons Ltd, 1983.