Основні теоретичні положення

Серед численних зв'язків між економічними показниками завжди можна виокремити такий, вплив якого на результативну ознаку є основним, визначальним. Щоб виміряти цей зв'язок кількісно, необхідно побудувати економетричну мо-дель з двома змінними (просту модель). Загальний вигляд та-кої моделі:

,

де Y— залежна змінна (результативна ознака); X— незалежна змінна (фактор); u — стохастична складова (залишки). Аналітична форма цієї моделі може бути різною залежно від економічної сутності зв'язків. Найпоширенішими є такі форми моделі:

де , — невідомі параметри моделі; u — стохастична складова.

Неважко переконатись, що наведені нелінійні форми зале-жностей за допомогою елементарних перетворень вихідної інформації зводяться до лінійних. Припустивши, що економе-трична модель з двома змінними є лінійною, тобто подається у вигляді:

,

де стохастична складова має нульове математичне сподівання та постійну дисперсію, оцінимо, параметри цієї моделі звичайним методом найменших квадратів (1 МІЖ).

В основу методу 1 МНК покладено принцип мінімізації суми квадратів залишків моделі. Реалізація цього принципу дає змогу дістати систему нормальних рівнянь:

У цій системі n — кількість спостережень; —

величини, значення яких можна обчислити на основі спостережень над змінними Y та Х.

Розв'язавши систему нормальних рівнянь, дістанемо оцінки невідомих параметрів моделі :

Достовірність побудованої економетричної моделі можна пе-ревірити, скориставшись елементами дисперсійного аналізу. На-самперед слід обчислити залишки моделі

а далі знайти їх дисперсію:

де m — кількість змінних моделі (m = 2), і визначити стандартну похибку кожного параметра моделі:

Тут сjj характеризує відповідний діагональний елемент матриці похибок (оберненої до матриці системи нормальних рівнянь). На підставі коефіцієнта детермінації

можна дійти висновку про ступінь значущості вимірюваного зв'язку згідно з економетричною моделлю. Значення R2 може на-лежати такому інтервалу: R2]0,1[.

Оскільки коефіцієнт детермінації R2 характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежної змін-ної, то чим ближче R2 до одиниці, тим впевненіше можна ствер-джувати, що зв'язок між цими змінними є статистичне значущим.

Коефіцієнт кореляції R = характеризує тісноту зв'язку між змінними моделі. Він може міститися на інтервалі: R2]-1,1[. Чим ближче R за модулем до одиниці, тим тіснішим є зв'язок. Знак «мінус» свідчить про обернений зв'язок, «плюс» — про прямий.

Прийнявши відповідну гіпотезу про закон розподілу залишків економетричної моделі, її параметри можна оцінити за методом максимальної правдоподібності.

Якщо залишки моделі розподіляються за нормальним зако-ном, то функція правдоподібності подається у вигляді

Продиференціювавши цю функцію за невідомими параметра-ми і прирівнявши похідні до нуля, дістанемо систему рівнянь:

Підставимо в цю систему значення, які обчислюються за вихідними даними, і розв'яжемо її відносно параметрів. У результаті дістанемо оцінки параметрів моделі a0 i a1, а також оцінку дисперсії залишків.

Побудова та аналіз економетричної моделі з двома змінними

Приклад. На основі даних про роздрібний товарообіг і доходи населення у грошових одиницях побудувати економетричну мо-дель роздрібного товарообігу.

Вихідні дані та їх елементарні перетворення для побудови мо-делі наведено в табл. 1.

Таблиця 1 |

Y | А' | х- | X | х-х | Y -Y | х - xj | if | (У-Г)2

1 | 173 | 18 | 324 | 306 | 16,67 | -6.5 | -5 | 42,25 | 32,5 | 0,33 | 0,1089 | 25

2 | 18 | 20 | 400 | 360 | 18.31 | -4.5 | -4 | 20,25 | 18,0 | -0,31 | 0,0961 | 16

3 | 19 | 21 | 441 | 399 | 19,31 | -3.1 | -3 | 12,25 | 10,5 | -0.13 | 0.0169 | 9

5 | 21 | 24 | 576 | 504 | 21.59 | -0,5 | - 1 | 0,25 | 0,5 | -0,59 | 0.3481 | 1

6 | 23 | 25 | 625 | 575 | 22,41 | 0.5 | 1 | 0.25 | 0.5 | 0,59 | 0,3481 | І

7 | 24 | 27 | 729і | 648 | 24,05 | 2,5 | 2 | 6,25 | 5,0 | -0.5 | 0.0125 | 4

8 | 25 | 28 | 784 | 700 | 24,87 | 3,5 | 3 | 12,25 | 10.5 | 0,13 | 0,0169 | 9

9 | 26 | 29 | 841 | 754 | 25,69 | 4,5 | 4 | 20,25 | 18,0 | 0,31 | 0.0961 | 16

10 | 27 | 31 | 961 | 837 | 27,33 | 6,5 | 5 | 42,25 | 32,5 | -0,33 | 0,1089 | 25

220 | 245 | 6165 | 5523——— | 162,5 | 133— | 1,145 | ПО

Розв’язання

І. Ідентифікуємо змінні:

Y— роздрібний товарообіг (залежна змінна);

X—доходи населення (незалежна змінна).

2. Нехай економетрична модель специфікована у лінійній формі:

Y = a0+a1X + u,

де а0, а1 — параметри моделі; u — стохастична складова (за-лишки).

3. Оцінимо параметри моделі за методом 1 МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:

n = 10 — кількість спостережень.

Підставивши в цю систему значення n, , , , , обчислені згідно з вихідними даними табл. 1, дістанемо систему рівнянь

;

Розв'яжемо цю систему відносно невідомих оцінок параметрів :

;

;

;

.

Отже, економетрична модель роздрібного товарообігу запи-шеться так:

.

4. Знайшовши відхилення кожної змінної від своєї середньої арифметичної, оцінимо параметри моделі альтернативним спо-собом:

;

.

5. Обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків:

;

.

Коефіцієнт кореляції беремо зі знаком «плюс». Оскільки коефі-цієнт детермінації R2 = 0,99, це свідчить про те, що варіація обсягу роздрібного товарообігу на 99% визначається варіацією доходів населення. Коефіцієнт кореляції R = 0,994 показує, що існує тісний