Основні теоретичні положення

В економетричних дослідженнях часто постають такі випадки, коли дисперсія залишків є сталою, але спостерігається їх коварі-ація. Це явище називають автокореляцією залишків.

Автокореляція залишків виникає часто тоді, коли економет-рична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься й кореляція послідовних зна-чень залишків. Отже, у такому разі також порушується гіпоте-за, згідно з якою . Але при гетероскедастичності змінюється дисперсія залишків за відсутності їх коваріації, а при автокореляції — існує коваріація залишків за незмінної дисперсії.

При автокореляції залишків, як і при гетероскедастичності, дисперсія залишків буде така:

Проте матриця S має тут зовсім інший вигляд. Запишемо цю мат-рицю:

У цій матриці параметр р характеризує коваріацію кожно-го наступного значення залишків із попереднім. Наприклад, якщо для залишків записати авторегресійну модель першого порядку:

ut=p ut-1+Et

то р характеризує силу зв'язку залишків у період t від їх рівня в періоді

t–1.

Якщо знехтувати наявністю автокореляції та для оцінювання параметрів моделі застосувати метод 1 МНК, то можливі такі на-слідки:

1) оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок А мо-жуть бути невиправдано великими;

2) статистичні критерії t і F-статистики, які отримані для кла-сичної лінійної моделі, практично не можуть бути використані для дисперсійного аналізу, оскільки їх обчислення не враховує наявності коваріації залишків;

3) неефективність оцінок параметрів економетричної моделі, як правило, призводить до неефективних прогнозів, тобто про-гнозні значення матимуть велику вибіркову дисперсію.

Перевірка наявності автокореляції

Для перевірки наявності автокореляції залишків можна засто-сувати чотири методи.

1. Критерій Дарбіна—Уотсона.

2. Критерій фон Неймана.

3. Нециклічний коефіцієнт автокореляції.

4. Циклічний коефіцієнт автокореляції.

Критерій Дарбіна—Уотсона:

Критерій Дарбіна—Уотсона може набувати значень на мно-жині DW [0,4]. Якщо залишки ut, є випадковими величинами, тобто не автокорельовані, то значення DW міститься поблизу 2. У разі додатної автокореляції DW< 2, у разі від'ємної — DW> 2.

Значення критерію DW табульовані на інтервалі DW1 -DW2, де DW1 –` нижня межа; DW2 — верхня межа. Фактичні значення критерію порівнюються з табличними (критичними) для числа спостережень n і числа незалежних змінних m при вибраному рі-вні довіри а. Якщо DWфакт <DW1, залишки мають автокореляцію.

Якщо DWфакт>DW2, приймається гіпотеза про відсутність авто-кореляції. Якщо DW1 < DW < DW2, конкретних висновків зробити не можна, існує невизначеність. При від'ємній автокореляції за-лишків, розраховане значення критерію DW віднімається від верх-ньої межі його, тобто від 4, а потім порівнюється з критичними значеннями, як зазначалося раніше.

Критерій фон Неймана:

Звідси при ; Q = DW . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості а і заданому числі спостережень. Якщо Qфакт<Qтабл, то існує додатна кореляція.

Нециклічній коефіцієнт автокореляції

може набувати значень в інтервалі [-1; +1]. Від'ємні значення свідчать про від'ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області поблизу нуля, свідчать про відсутність автокореляції.

Циклічний коефіцієнт автокореляції

Фактичне значення цього критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду спостережень n.

Якщо r0факт? r0табл, то існує автокореляція. Припускаючи, що

циклічний коефіцієнт автокореляції можна подати у вигляді:

Оцінювати параметри моделі з автокорельованими залишками можна на базі чотирьох методів:

1) Ейткена;

2) перетворення вихідної інформації;

3) Кочрена—Оркатта;

4) Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку:

Ітеративні методи Кочрена—Оркатта і Дарбіна можна засто-совувати для оцінювання параметрів економетричної моделі й тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищо-го порядку:

1. Метод Ейткена

Оператор оцінювання цим методом запишеться так:

або

де S-l — матриця, обернена до матриці S (див. с. 128);

V-l — матриця, обернена до матриці .

Оскільки в матриці S коваріація залишків сs при s > 2 набли-жається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме та-кий вигляд:

На практиці для обчислення с застосовують співвідношення:

,

або

2. Метод перетворення вихідної інформації

Цей метод передбачає виконання двох кроків:

1) перетворення вихідної інформації із застосуванням параметра р;

2) застосування методу 1 МНК для оцінювання параметрів моделі на базі перетворених даних.

Перетворення вихідної інформації виконується за допомогою матриці Т1 або Т2:

тобто замість матриці X застосовується Т1Х або Т2Х, замість век-тора Y— Т1Y, або Т2Х.

3. Метод Кочрсна—Оркатта

Цей метод є ітеративним методом наближеного пошуку оці-нок параметрів aj і р (j = 0,m), які мінімізують суму квадратів залишків.

Коли економетрична модель має вигляд

Y1=a0+a1Xt+ut

ut=put-1+ еt, t=1,n, |p|<1,

то сума квадратів залишків подається так:

Алгоритм

Крок 1. Довільно вибираємо значення р < 1 (р = r1,) і підстав-ляємо у формулу для суми квадратів залишків.

Крок 2. За методом 1 МНК знаходимо оцінки параметрів а0(1) і а1(1)

Крок 3. Узявши а0 = а0(1) і a1 = а1(1), підставимо ці значення у формулу суми квадратів залишків і обчислимо р = r2.

Крок 4. Підставивши р = r2 , обчислимо параметри а0(2) і а0(2) і т.п.

Процедура триває доти, доки послідовні значення оцінок па-раметрів не відрізнятимуться менше ніж на задану величину.

4. Метод Дарбіна

Цей метод базується на простій двокроковій процедурі.

* Крок 1. Підставляємо значення залишків, яке задовольняє авторегресійну модель першого порядку

ut=put-1+еt,

в економетричну модель

Yt =а0+ а1Хt + ut.

Тоді

Yt =a0+a1Xt,+put-1,

де ut-1 =Yt-1 –a1Xt-1

Звідси

Yt=a0(1-p)+pYt-1+a1Xt+a1Xt+a1(pXt-1)+еt

У даному разі є, має скалярну матрицю дисперсій:

За методом 1МНК обчислюємо оцінки параметрів р, a0, а1,.

Крок 2. Застосовуємо оцінку параметра р для перетворення змінних (Yt –р Yt-1) і (Хt–pXt–1), а метод 1 МНК — для пере-творених даних.

Прогноз згідно з економетричною моделлю, що має автокоре-льовані залишки, подається так:

Yn+1=Xn+1A+pеn