Визначити медіану і моду графічним способом, побудувавши гістограму і кумуляту.

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки . В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого .

Середнє лінійне відхилення:

(1.4)

Дисперсія

(1.5)

Середнє квадратичне відхилення:

(1.6)

Лінійний коефіцієнт варіації

100%. (1.7)

1.8 Квадратичний коефіцієнт варіації

100%. (1.8)

Дані характеристик розподілу заносимо в таблицю 1.2.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною і медіаною чи модою. Порівнюємо значення середньої арифметичної, моди, медіани. Якщо має місце правостороння асиметрія, якщо має місце лівостороння асиметрія.

Напрям і міру скошеності характеризують стандартизоване відхилення, яке визначається найчастіше за формулою:

, або А= (1.19)

При цьому в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А> 0, при лівосторонній А< 0.

Скупченість окремих значень ознаки навколо середньої називають ексцесом. Мірою ексцесу є стандартизований момент ІУ порядку

(1.20)

Де - центральний момент 4-го порядку

(1.21)

У симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3. При гостровершинному розподілі Е> 3, плоско вершинному Е< 3.

Для порівняння ступеня скошеності (асиметрії) різних розподілів використовують стандартизований момент ІІІ порядку:

(1.22)

Де - центральний момент третього порядку

(1.23)

Вважають, що при А < 0,25 асиметрія слабка, якщо 0,25< А < 0,5 – середня і при А> 0,5 – висока.

Дані розрахунків занести в таблицю і зробити висновки про розподіл працівників за заробітною платою.

Дані розрахунків заносимо в таблицю 1. 3.

Розглянуті вище характеристики дають нам уяву про характер центру розподілу, варіації та форми розподілу. Поглиблюючи аналіз, можна описати закономірність співвідношення варіант і частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Серед множини кривих розподілу найпоширенішою виявилась нормальна крива. Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли.

Частоти , які відповідають теоретичній кривій називаються теоретичними. Для нормального розподілу їх визначають за формулою:

(1.24)

де n - обсяг сукупності ;

- інтегральна функція розподілу

. (1.25)

Функція ґрунтується на стандартизованих відхиленнях :

(1.26)

де - верхня межа інтервалу.

Функція табульована. Для додатніх t значення беремо безпосередньо з таблиць . При від’ємних значеннях t функція становить . Значення функції нормального розподілу наведені в додатку А.

Між теоретичними і емпіричними частотами є певні відхилення. Вони можуть мати випадковий характер або бути наслідком невідповідності теоретичної кривої реальному характеру розподілу. Для оцінки істотності відхилень використовують критерії узгодження. Критерій Пірсона обчислюємо за формулою:

(1.27)

Значення порівнюються з критичним для імовірності 1- і числа ступенів вільності -1, де m - число груп; r - число параметрів функції.

Критичне значення - це максимально можливе . Якщо фактичне значення перевищує критичне > , то відхилення між емпіричними і теоретичними частотами слід вважати істотним. У випадку, коли < істотність відхилення вважається недоказаною. Критичні значення наведені в додатку.

Побудувати лінійну діаграму теоретичних і емпіричних частот.

Наведемо приклад аналізу ряду розподілу працівників за заробітною платою.

Дані по заробітній платі за 2003 рік

Вихідні дані Табл 1.1

Групи працюючих за розміром заробітної плати, грн. | Чисельність працюючих, осіб

Від 300 до 500 | 5

Від 500 до 600 | 3

Від 600 до 750 | 2

Від 750 до 800 | 4

Від 800 до 900 | 2

Від 900 до 1000 | 1

Понад 1000 | 2

Разом | 19

В наслідок перегрупування отримано наступні дані

Табл.1.2

Від 300 до 460 | 4

Від 460 до 620 | 4

Від 620 до 780 | 4

Від 780 до 940 | 5

Від 940 до 1100 | 2

Для визначення характеристик розподілу використаємо таблицю 1.3

Таблиця 1.3

Межі

групи | Середина

інтервалу | Групи працюючих

за розміром

з/пл. ,f | Xifi | S | | x-x|f | f

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

Продовження таблиці 1.4

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

300-460 | 380 | 4 | 1520 | -294,74 | 4 | 1178,96 | 86871,67 | 347486,7

460–620 | 540 | 4 | 2700 | -134,74 | 8 | 538,96 | 18154,87 | 72619,47

620–780 | 700 | 4 | 2100 | 25,26 | 12 | 101,04 | 638,0676 | 2552,27

780-940 | 860 | 5 | 3440 | 185,26 | 17 | 926,3 | 34321,27 | 171606,3

940–1100 | 1020 | 2 | 3060 | 345,26 | 19 | 690,52 | 119204,5 | 238408,9

Разом | 19 | 12820 | 3435,78 | 832673,7

Визначаємо середню арифметичну

==;

Медіану Me = XMe + h * =780+160=840;

моду Мо = ХМо + h *

=780+160=820;

Обчислюємо розмах варіації:

R= xmax-xmin=1100-300=800

Визначаємо моду і медіану графічним способом

Рис.1.1-Гістограма. Графічне визначення моди.

Рис .1.2- Кумулята. Графічне визначення моди

Середнє лінійне відхилення = =

Дисперсія

2 =

Середнє квадратичне відхилення

= ==209,34

Лінійний коефіцієнт варіації

= 100 %=

Квадратичний коефіцієнт варіації

= 100 %=;

Порівняємо значення , Ме, м0 ;

=674,74, м0=820; ме=840; як бачимо > Мо > ме , отже має місце правостороння асиметрія.

Стандартизоване відхилення: АS = =; так , як АS<0 асиметрія лівостороння.

Визначимо коефіцієнт асиметрії та ексцес за допомогою центральних моментів розподілу 3-го та 4-го порядку.

Таблиця 1.4

Розрахунок значень центральних моментів 3-го та 4-го порядку

Межі

групи | Середина

інтервалу | f | (x-x)3 | (x-x)3f | (x-x)4 | (x-x)4f

300-460 | 380 | 4 | -294,74 | -25604555 | -102418221 | 7546686632 | 30186746526

460–620 | 540