(2.1)

Сучасну вартість такого потоку також знаходимо прямим рахунком як суму дисконтова них платежів:

(2.2)

Також поширеною задачею є визначення розміру члена ренти. Якщо рента річна, постнумерандо, з щорічним нарахуванням відсотків, то:

R = S/Sn;i (2.3.)

де Sn;i – коефіцієнт нарощування ренти, який описується формулою:

(2.4)

Нехай тепер умовами договору задано сучасну вартість ренти. Якщо рента річна (m=1), то випливає, що:

R = A/an;i (2.5.)

де an;i – коефіцієнт приведення ренти, який можна описати, як:

an;I = 1- (1+i)-n /i (2.6.)

Відомо, що принц Чарльз при розлученні з Діаною сплатив останній 17 млн. ф. ст.. Як повідомляли, ця сума була визначена у розрахунку на те, що принцеса проживе ще 50 років (нажаль, це не збулось). Вказану суму можна розглядати як сучасну вартість постійної ренти. Визначимо розмір члена цієї ренти за умови, що відсоткова ставка дорівнює 10%, а виплати проводяться щомісячно.

За умови задачі, А=17000 тис. ф. ст., n=50, p=12, i=10%. Для ренти постнумерандо зі вказаними параметрами можна записати наступну рівність:

А = 17000 == R х

Звідси щомісячна виплата складає = 135,6 тис. ф. ст..

Дещо іншого вигляду набудуть вказані залежності, якщо розглядати „вічну ренту”, під якою розуміють ряд платежів, кількість яких не обмежено – теоретично вона сплачується на протязі нескінченної кількості років. На практиці іноді стикаються з випадками, коли є сенс удатися до такої абстракції, наприклад, якщо припущено, що строк потоку платежів дуже великий і конкретно не оговорений. Очевидно, що нарощена вартість вічної ренти дорівнює нескінченно великій величині. На перший погляд видається нонсенсом і визначення сучасної вартості такої ренти. Однак сучасна вартість вічної ренти є кінцевою величиною.

При n>? лімітом для коефіцієнта приведення є величина:

(2.7.)

Звідси для вічної ренти сучасна вартість залежить тільки від розміру члена ренти і відсоткової ставки. З (2.7) випливає:

R = (2.8.)

Нехай необхідно викупити вічну ренту, член якої рівний 5 млн. грн., що сплачується в кінці кожного півріччя.

Капіталізована вартість такої ренти за умови, що для її визначення застосовано річну ставку 25%, складе:

= 42,361 млн. грн.

При розробці умов контракту іноді виникає необхідність у визначенні строку ренти, і, відповідно, кількості членів ренти. Визначено наступні формули для розрахунку строку постійних рент, які наведені в Додатку 5.

В аналізі виробничих фінансових проектів іноді зустрічаються ренти, члени яких сплачуються з інтервалами, що перевищують рік. Визначимо нарощену суму і сучасну вартість таких рент.

Нехай r – часовий інтервал між двома членами ренти, відсотки нараховуються раз на рік. В цьому випадку сучасна вартість першого платежу складе на початок ренти величину Tvr, другого – Tv2r, останнього – Tvп, де Т – величина члена ренти, п – строк ренти, кратний r. Послідовність дисконтованих платежів представляє собою геометричну прогресію з першим членом Tvr, знаменником vr і кількістю членів п/р. Сума членів такої прогресії за умови, що Т = 1, дорівнює:

(2.9.)

Звісно, вказане у формулі співвідношення коефіцієнтів приведення і нарощення можна використовувати у випадках, коли r – ціла кількість років.

Порівнюються два варіанти будівництва деякого об'єкта. Перший потребує разових вкладень у сумі 6 млн. грн. і капітального ремонту вартістю 0,8 млн. грн. кожні 5 років. Для другого витрати на створення рівні 7 млн. грн., на капітальний ремонт – 0,4 млн. грн. кожні 10 років. Часовий горизонт, що враховується у розрахунку, - 50 років.

Капіталізована сума витрат за умови, що i = 10%, оцінюється для кожного варіанта у наступних розмірах:

млн. грн.

млн. грн.

Таким чином, у фінансовому відношенні варіанти виявляються рівноцінними при прийнятому рівні відсоткової ставки. Чим ставка вища, тим менше впливають на результат витрати на ремонт. Так, якщо порівняння проводиться за ставкою 20%, то одержимо ; .

2.3. Методи урахування податків і інфляції

У розглянутих вище методах визначення нарощеної суми не враховувались такі важливі моменти як податки й інфляція. Розглянемо цю проблему.

У ряді країн одержані (юридичними, а іноді й фізичними особами) відсотки обкладаються податком, що, природно, зменшує реальну нарощену суму і доходність операції.

Позначимо нарощену суму до сплати податків через S, а з урахуванням їх сплати як S/. Нехай ставка податку на відсотки дорівнює g, а загальна сума податку G.

При нарахуванні простих відсотків за весь рік знаходимо:

G = Pnig

(2.10)

Таким чином урахування податку при визначенні нарощеної суми зводиться до відповідного скорочення відсоткової ставки – замість ставки і фактично застосовується ставка . Розмір податку пропорційний строку. Перейдемо до довгострокових операцій зі складними відсотками:

(2.11.)

Нехай ставка податку на відсотки дорівнює – 30% річних, строк нарахування відсотків – 3 роки. Першочергова сума позики 1000 тис. грн.. Визначимо розміри податку при нарахуванні простих і складних відсотків.

При нарахуванні простих відсотків одержимо наступні показники:

1900 тис, грн. без сплати податку,

S/ = 1000 (1+3(1-0,1)0,3) = 1810 тис. грн. з урахуванням сплати податку.

Нарахуємо тепер складні відсотки:

2197 тис. грн. без сплати податку,

= 1000( (1-0,1) (1+0,3) +0,1) = 2077,3 тис. грн. з урахуванням сплати податку.

У розглянутих вище методах нарощення всі грошові величини вимірювались за номіналом. Інакше кажучи, не приймалось до уваги зниження реальної купівельної спроможності грошей за період, який охоплює операція. Однак у сучасних умовах інфляція у грошових відносинах відіграє помітну роль, і без її урахування кінцеві результати часто представляють собою умовну величину.

Інфляцію необхідно враховувати по крайній мірі в двох випадках: при розрахунку